多目标最优化解析-优快云博客

假设有一个姑娘要找一个对象结婚。根据目前流行的观念，她需要考虑帅，有钱，有能力，有家庭背景，会体贴人，爱她，等等。假设她找对象的范围是确定的，比如就在上海市。现在她希望找一个男同胞，争取上面所述的各方面都是最好的。这么一个例子在《笑林广记》记载了。不过那是在战国的齐国。候选者只有两个，标准也只有两个，帅，有钱。当然齐女的选择是明智的，她说：这样吧，我到有钱的那里吃饭穿衣服，到帅的那个家里睡觉。
　　上面的一个例子是多目标最优化的一个典型例子。多目标最优化是这么一种问题，在一定约束下，它希望使得多个目标都能达到最优。在现实生活中，很多问题都要求多个目标最好，或者是妥协最好。比如买车，要便宜，又要省油，还要快。但是一般来说，多个目标同时达到最优的情况是不存在的。比如像上面那位姑娘要求每个目标都达到最优的问题，在现实中一般是不存在的。
　　多目标最优化的数学描述如下
　　　　　　　　　　　　　min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))
　　　　　　　　　　　　　　　　　s.t. g(x)<=0
　　多目标首先要解决的一个问题是解的存在性问题。这种问题涉及到很深的数学理论。其次它要解决怎么来求解的问题。如果问题没有最优解，那么通过以下将要说明的方法就可以判别出来。如果问题有解，又怎么来求得他们呢？特别的，问题有无限多个解，又该怎么办呢？
　　如果问题有解，求得的一个最简单的方法是称为所谓的标量化方法，或者说是权重方法。这个方法的本质是体现当事人对各个目标的侧重点。它首先对每个目标赋一个权重，然后把所有的目标乘上权重然后累和作为一个目标，然后再与原问题相同的约束下求解。可以证明，这样的问题的解是原问题的一个解（称为pareto解）。不断的改变权重的安排，就可以求得不同的最有解。
　　另外一种方法叫做所谓的Benson方法。这种方法是只考虑问题的其中一个目标，而其他目标要求他们小于一定的值。然后再与原问题相同的约束下来优化这个目标。可以证明，这样求得的一个最优解也是原问题的最优解。
　　还有一种方法叫做所谓的goal programming方法。这种方法本质和Benson的方法差不多。它考虑如下问题
　　　　　　　　min /sum_{i=1}^k(/alpha_i u_i+/beta v_i)
　　　　　　　　　　　s.t. f_i(x)+u_i-v_i=f(x_0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　g(x)<=0
　　其中x_0是预先取定的点，/alpha_i,/beta_i, i=1,/cdots, k是权重。求解上面的问题会求的一个最优解。可以证明，这个最优解也是pareto最优的。
　　还有一种方法是范数权重方法，他考虑如下问题
　　　　　　　　　　min (/sum_{i=1}^k |f_i(x)-f^*_i|^p)^{1/p}
　　　　　　　　　　　　　　　　　s.t. g(x)<=0
　　其中，f^*是理想点，就是每个分量都是最优的点。它的本质是求得一个在所采用的范数下与理想点最近的点。可以证明上面的最优解也是原问题的一个pareto最优解。
　　其他还有compromise(妥协）方法，演化方法等等。思想都差不多。这里就不介绍了。
　　研究多目标方法目前主要有3派。中国学派从理论上研究，对算法研究的很少。所以导致泳的数学很高深，文章很难读。国外的比较注重理论和计算。一般来说都是理论指导计算的。还有一派干脆就是实用主义者。它们只考虑应用多目标最优化的模型来解决实际问题，比如管理问题，工程设计问题等等。