算法设计与分析第十二周——动态规划之 K Inverse Pairs Array

算法设计与分析第十二周——动态规划之 K Inverse Pairs Array

      这周的题目：629. K Inverse Pairs Array

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题目详情

      题目要求为，给定两个正整数 n 和 k，求由整数 1、2、3、4、...、n 组成的有k个逆序对的不同顺序的序列（序列的原数个数为n，且两两间相异）的个数，其中逆序对的定义为：如果对于一个序列的下标 i 和 j，当 i > j 时，有s[ i ] < s[ j ]，则称这个序列有逆序对。

样例分析：

输入	输出	分析
n = 3, k = 0	1	当且仅当序列为{1,2,3}时，存在0个逆序对。比如序列为{3,2,1}时，有逆序对{s[0], s[1]}、{s[0], s[2]}、{s[1], s[2]} 3个。
n = 3, k = 1	2	当序列为{1,3,2}或{2,1,3}时，序列有1个逆序对。

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题目分析与算法设计

      我们回归到动态规划的本质上，第一，使用动态数组表示状态，第二，如何归纳总结出状态转移方程。定义数组 dp[ i ][ j ] 为由整数1、2、3、...、i 的中存在 j 个逆序对的数量，那么 dp[ n ][ k ] 即为所求。

使用归纳法：

1. dp[ n ][ k ]已知。
2. 则对于 dp[ n + 1][ k ]，其表示为在由整数 1、2、3、4、...、n+1 组成的有k个逆序对的不同顺序的序列，此时，假设当前 n = 4，对于 n + 1 的情况，我们只需在4个数之间插入一个数即可，即有以下序列：xxxx5、xxx5x、xx5xx、x5xxx、5xxxx。这里的xxxx表示1到4的任意排列，那么第一种情况xxxx5不会增加任何新的逆序对，因为xxxx中没有比5大的数字，而 xxx5x会新增加1个逆序对，xx5xx，x5xxx，5xxxx分别会增加2，3，4个逆序对。那么xxxx5就相当于 dp[ 4 ][ k ]，一般的表示即 dp[ n ][ k ]，那么依次往后类推，就是 dp[n][k-1], dp[n][k-2]...dp[n][k-n]。
3. 则 dp[ n + 1 ][ k ] = dp[ n ][ k ] + dp[ n ][ k - 1] + dp[ n ][ k - 2] +...+dp[ n ][ k - n ]；
4. 把 n + 1 代换成 n ，得 dp[ n ][ k ] = dp[ n - 1 ][ k ] + dp[ n - 1 ][ k - 1] + dp[ n - 1 ][ k - 2] +...+dp[ n - 1 ][ k - n  + 1 ]
5. 更一般的，dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ] + dp[ i - 1 ][ j - 1] + dp[ i - 1 ][ j - 2] +...+ dp[ i - 1 ][ j - i  + 1 ] ；(1)

     又由上述递推，有 dp[ i ][ j +1] = dp[ i - 1 ][ j  + 1] + dp[ i - 1 ][ j  + 1 - 1] + dp[ i - 1  ][ j + 1 - 2] +...+dp[ i ][ j + 1 - i  + 1 ]；(2)，式子(2) - (1) =  dp[ i ][ j +1] - dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j  + 1] - dp[ i - 1 ][ j - i  + 1 ]；化简得到 dp[ i ][ j +1] = dp[ i ][ j ] + dp[ i - 1 ][ j + 1 ] - dp[ i - 1 ][ j - n + 1 ]；使用 j 替换 j + 1，得到：dp[ i ][ j ] = dp[ i ][ j - 1 ] + dp[ i - 1 ][ j ] - dp[ i - 1 ][ j - i ]；

对于上式：dp[ i ][ j ] = dp[ i ][ j - 1 ] + dp[ i - 1 ][ j ] - dp[ i - 1 ][ j - i ]，当且仅当 j >= i 时，dp[ i - 1 ][ j - i ] 才有意义。所以，最终的方程为：

• dp[ i ][ j ]  = dp[ i ][ j - 1 ] + dp[ i - 1 ][ j ] - dp[ i - 1 ][ j - i ]，（i <= j);
• dp[ i ][ j ]  = dp[ i ][ j - 1 ] + dp[ i - 1 ][ j ] ，（i > j）

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代码详情

int kInversePairs(int n, int k) {
  
      	vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(k+1, 0));
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        	dp[i][0] = 1;
        	for (int j = 1; j <= k; j ++) { 
        		dp[i][j] = (dp[i][j-1] + dp[i-1][j]) % mod;
        		if (j >= i) {
        			dp[i][j] = (dp[i][j] - dp[i-1][j-i] + mod) % mod;
        		}
        	}
        }
        return dp[n][k];
    }

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谢谢阅读。

参考资料：

1. https://leetcode.com/problems/k-inverse-pairs-array/discuss/104825/Shared-my-C++-O(n-*-k)-solution-with-explanation
2. http://www.cnblogs.com/grandyang/p/7111385.html