螺旋队列算法分析

螺旋队列的样子如下图:

 

 

 

两大规律:

1。螺旋规律(红线)

2。奇数平方规律(紫线)

 

问题描述:

 

设1的坐标是(0,0),的方向向右为正,y方向向下为正,例如,7的坐标为(-1,-1),

2的坐标为(0,1)。编程实现输入任意一点坐标(x,y),输出所对应的数字!

 

 

问题解决:

从紫线突破。从图中不难发现,右上角vc=(2*t+1)(2*t+1),t为该圈x,y坐标的绝对值的最大值。例如vc=9、25、49、81........,算出vc后,就分4个判断区域,分别判断,点落在该圈4条边的哪条边上,从而计算出具体坐标点的值。

四个区域划分如下图:

 

 

4个区域内4条边上的值u与vc的对应关系为:

y=-t区:u = vc+(x+y);

x=-t区:u = vc+(3*x-y);

y=t区:u = vc + (-x - 5*y);

x=t区:u = vc+(-7*x+y);

 

那么这些关系是怎么得出来的呢?再看图中画上圈的数字:

 

 

在y=-t区,y坐标不变,x坐标变化步长为1。令x=0,此时,u=vc+y作为该边的基准值,其他值随x的变化而变化,得在该区域u=vc+(x+y);

同理,在x=-t区,x坐标不变,y坐标变化步长为1。令y=0,此时,u=vc+3*x作为该边的基准值,其他值随y的变化而变化,得在该区域u=vc+(3*x-y);

同理得其他俩区域的表达式。不再赘述。

 

 

程序实现:

  1. #include <iostream>
  2. #include <string>
  3. using namespace std;
  4. #define abs(a)    ((a)>0?(a):(-a))
  5. #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
  6. int spiralval(int x,int y)
  7. {
  8. int t = max(abs(x),abs(y));
  9. int vc = (t*2+1)*(t*2+1);
  10. int u;
  11. if ( y == -t) //分别判断,点落在该圈4条边的哪条边上
  12.      u = vc+(x+y);
  13. else if (x == -t)
  14.     u = vc+(3*x-y);
  15. else if (y == t)
  16.      u = vc + (-x - 5*y);
  17. else
  18.      u = vc+(-7*x+y);
  19. return u;
  20. }
  21. int main()
  22. {
  23. int x,y;
  24. cout << endl;
  25. for(y=-5;y<=5;y++)
  26.     {
  27.       for(x=-5;x<=5;x++)
  28.     printf("%5d",spiralval(x,y));
  29.       
  30.       printf("/n");
  31.     }
  32. cin.get();
  33. return 0;
  34. }

螺旋队列

 
螺旋队列

21    22    23    24     25

20    7      8     9     10

19    6      1     2     11

18    5      4     3     12

17    16    15    14     13

    看清以上数字排列的规律,设1点的坐标是(0,0),x方向向右为正,y方向向下为正.例如:7的坐标为(-1,-1) ,2的坐标为(0,1),3的坐标为(1,1).编程实现输入任意一点坐标(x,y),输出所对应的数字。

    解析:规律能看出来,问题就在于如何利用它。很明显这个队列是顺时针螺旋向外扩展的,我们可以把它看成一层一层往外延 伸。第 0 层规定为中间的那个 1,第 1 层为 2 到 9,第 2 层为 10 到 25,注意到 1、9、25、……不就是平方数吗?而且是连续奇数(1、3、5、……)的平方数。这些数还跟层数相关,推算一下就可以知道第 t 层之内一共有 (2t-1)^2 个数,因而第 t 层会从 [(2t-1)^2] + 1 开始继续往外螺旋。给定坐标 (x,y),如何知道该点处于第几层?层数 t = max(|x|,|y|)。

  知道了层数,接下来就好办多了,这时我们就知道所求的那点一定在第 t 层这个圈上,顺着往下数就是了。要注意的就是螺旋队列数值增长方向和坐标轴正方向并不一定相同。我们可以分成四种情况——上、下、左、右——或者——东、南、西、北,分别处于四条边上来分析。

  东|右:x == t,队列增长方向和 y 轴一致,正东方向(y = 0)数值为 (2t-1)^2 + t,所以 v = (2t-1)^2 + t + y

  南|下:y == t,队列增长方向和 x 轴相反,正南方向(x = 0)数值为 (2t-1)^2 + 3t,所以 v = (2t-1)^2 + 3t - x

  西|左:x == -t,队列增长方向和 y 轴相反,正西方向(y = 0)数值为 (2t-1)^2 + 5t,所以 v = (2t-1)^2 + 5t - y

  北|上:y == -t,队列增长方向和 x 轴一致,正北方向(x = 0)数值为 (2t-1)^2 + 7t,所以 v = (2t-1)^2 + 7t + x

  其实还有一点很重要,不然会有问题。其它三条边都还好,但是在东边(右边)那条线上,队列增加不完全符合公式!注意到东北角(右上角)是本层的最后一个数,再往下却是本层的第一个数,那当然不满足东线公式啊。所以我们把东线的判断放在最后(其实只需要放在北线之后就可以),这样一来,东北角那点始终会被认为是北线上的点。

答案:代码如下:

#include <stdio.h>
#define max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))
#define abs(a) ((a)>0?(a):-(a))
int foo(int x, int y)
{
    int t = max(abs(x), abs(y));
    int u = t + t;
    int v = u - 1;
    v = v * v + u;
    if (x ==  - t)
        v += u + t - y;
    else if (y ==  - t)
        v += 3 * u + x - t;
    else if (y == t)
        v += t - x;
    else
        v += y - t;
    return v;
}

int main()
{
    int x, y;
    for (y =  - 4y <= 4y++)
    {
        for (x =  - 4x <= 4x++)
            printf("]", foo(x, y));
            printf("\n");
    }
    while (scanf("%d%d", &x, &y== 2)
        printf("%d\n", foo(x, y));
    return 0;
}


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