螺旋队列算法分析

螺旋队列的样子如下图：

 

 

 

两大规律：

1。螺旋规律（红线）

2。奇数平方规律（紫线）

 

问题描述：

 

设1的坐标是（0，0），的方向向右为正，y方向向下为正，例如，7的坐标为（-1，-1），

2的坐标为（0，1）。编程实现输入任意一点坐标（x，y），输出所对应的数字！

 

 

问题解决：

从紫线突破。从图中不难发现，右上角vc=(2*t+1)(2*t+1),t为该圈x,y坐标的绝对值的最大值。例如vc=9、25、49、81........，算出vc后，就分4个判断区域，分别判断，点落在该圈4条边的哪条边上，从而计算出具体坐标点的值。

四个区域划分如下图：

 

 

4个区域内4条边上的值u与vc的对应关系为：

y=-t区：u = vc+(x+y);

x=-t区：u = vc+(3*x-y);

y=t区：u = vc + (-x - 5*y);

x=t区：u = vc+(-7*x+y);

 

那么这些关系是怎么得出来的呢？再看图中画上圈的数字：

 

 

在y=-t区，y坐标不变，x坐标变化步长为1。令x=0，此时，u=vc+y作为该边的基准值，其他值随x的变化而变化，得在该区域u=vc+(x+y)；

同理，在x=-t区，x坐标不变，y坐标变化步长为1。令y=0，此时，u=vc+3*x作为该边的基准值，其他值随y的变化而变化，得在该区域u=vc+(3*x-y)；

同理得其他俩区域的表达式。不再赘述。

 

 

程序实现：

1. #include <iostream>
2. #include <string>
4. using namespace std;
5. #define abs(a)    ((a)>0?(a):(-a))
6. #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
9. int spiralval(int x,int y)
10. {
11. int t = max(abs(x),abs(y));
12. int vc = (t*2+1)*(t*2+1);
13. int u;
15. if ( y == -t) //分别判断，点落在该圈4条边的哪条边上
16.      u = vc+(x+y);
17. else if (x == -t)
18.     u = vc+(3*x-y);
19. else if (y == t)
20.      u = vc + (-x - 5*y);
21. else
22.      u = vc+(-7*x+y);
24. return u;
25. }
28. int main()
29. {
31. int x,y;
33. cout << endl;
35. for(y=-5;y<=5;y++)
36.     {
37.       for(x=-5;x<=5;x++)
38.     printf("%5d",spiralval(x,y));
39.       
40.       printf("/n");
42.     }
43. cin.get();
44. return 0;
45. }

螺旋队列

 

螺旋队列

21    22    23    24     25

20    7      8     9     10

19    6      1     2     11

18    5      4     3     12

17    16    15    14     13

    看清以上数字排列的规律,设1点的坐标是(0,0),x方向向右为正,y方向向下为正.例如:7的坐标为(-1,-1) ,2的坐标为(0,1),3的坐标为(1,1).编程实现输入任意一点坐标(x,y),输出所对应的数字。

    解析：规律能看出来，问题就在于如何利用它。很明显这个队列是顺时针螺旋向外扩展的，我们可以把它看成一层一层往外延 伸。第 0 层规定为中间的那个 1，第 1 层为 2 到 9，第 2 层为 10 到 25，注意到 1、9、25、……不就是平方数吗？而且是连续奇数（1、3、5、……）的平方数。这些数还跟层数相关，推算一下就可以知道第 t 层之内一共有 (2t-1)^2 个数，因而第 t 层会从 [(2t-1)^2] + 1 开始继续往外螺旋。给定坐标 (x,y)，如何知道该点处于第几层？层数 t = max(|x|,|y|)。

　　知道了层数，接下来就好办多了，这时我们就知道所求的那点一定在第 t 层这个圈上，顺着往下数就是了。要注意的就是螺旋队列数值增长方向和坐标轴正方向并不一定相同。我们可以分成四种情况——上、下、左、右——或者——东、南、西、北，分别处于四条边上来分析。

　　东|右：x == t，队列增长方向和 y 轴一致，正东方向（y = 0）数值为 (2t-1)^2 + t，所以 v = (2t-1)^2 + t + y

　　南|下：y == t，队列增长方向和 x 轴相反，正南方向（x ＝ 0）数值为 (2t-1)^2 + 3t，所以 v ＝ (2t-1)^2 + 3t - x

　　西|左：x == -t，队列增长方向和 y 轴相反，正西方向（y ＝ 0）数值为 (2t-1)^2 + 5t，所以 v = (2t-1)^2 + 5t - y

　　北|上：y == -t，队列增长方向和 x 轴一致，正北方向（x ＝ 0）数值为 (2t-1)^2 + 7t，所以 v ＝ (2t-1)^2 + 7t + x

　　其实还有一点很重要，不然会有问题。其它三条边都还好，但是在东边（右边）那条线上，队列增加不完全符合公式！注意到东北角（右上角）是本层的最后一个数，再往下却是本层的第一个数，那当然不满足东线公式啊。所以我们把东线的判断放在最后（其实只需要放在北线之后就可以），这样一来，东北角那点始终会被认为是北线上的点。

答案：代码如下：

#include <stdio.h>
#define max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))
#define abs(a) ((a)>0?(a):-(a))
int foo(int x, int y)
{
    int t = max(abs(x), abs(y));
    int u = t + t;
    int v = u - 1;
    v = v * v + u;
    if (x ==  - t)
        v += u + t - y;
    else if (y ==  - t)
        v += 3 * u + x - t;
    else if (y == t)
        v += t - x;
    else
        v += y - t;
    return v;
}

int main()
{
    int x, y;
    for (y =  - 4; y <= 4; y++)
    {
        for (x =  - 4; x <= 4; x++)
            printf("]", foo(x, y));
            printf("\n");
    }
    while (scanf("%d%d", &x, &y) == 2)
        printf("%d\n", foo(x, y));
    return 0;
}