【笔记】Big Integer - FFT Multiplication-优快云博客

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这篇博客介绍了使用快速傅里叶变换(FFT)进行大整数乘法的方法，包括离散加权傅里叶变换和数论变换。通过FFT的时间复杂度分析，展示了如何优化计算速度。还讨论了在模素数下如何找到原根和乘法逆元，并应用到数论变换中。最后，提供了相关的代码实现。

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Discrete Weighted Transform FFT Multiplication

FFT时间复杂度时O(nlgn)，当输入向量长度减半时时间复杂度为O(n/2lg(n/2)) < O((nlgn)/2)，所需时间几乎减半。

调用FFT时，对于整数型向量，可以把向量的前半部分放入实部，后半部分放入虚部，比全部放入实部更快。

也就是对于长度为N的向量，0,1...N/2 - 1放入实部，N/2,N/2 + 1...N - 1放入虚部。在IDFT之后再调回来，注意虚部这时全部为负数。

/// <summary>
/// return Lo(data) + iHi(data), Lo(data) = data[0...i...n/2 - 1], Hi(data) = data[n/2...n/2+i...n-1]
/// </summary>
private static Complex[] Fold(int[] data)
{
    var result = new Complex[data.Length >> 1];
    for(var i = 0; i < result.Length; ++i)
    {
        result[i] = new Complex(data[i], data[result.Length + i]);
    }

    return result;
}

/// <summary>
/// return Real(data)...Imag(data), Real(data) = data[0...i...n-1].Real, Imag(data) = -data[0...i...n-1].Imaginary
/// </summary>
private static int[] UnFold(Complex[] data)
{
    var result = new int[data.Length << 1];
    for (var i = 0; i < data.Length; ++i)
    {
        result[i] = (int)Math.Round(data[i].Real);
        result[data.Length + i] = -(int)Math.Round(data[i].Imaginary);
    }

    return result;
}

当在DFT前对向量乘以一个系数，IDFT后再对结果乘以该系数的逆，就是离散加权傅里叶变换。加权向量a^N = -1 => a = e^-iπ/N。

/// <summary>
/// <paramref name="data"/>[i] *= <see cref="Math.E"/>^(-<see cref="Math.PI"/>*i/<paramref name="n"/>)
/// </summary>
private static void Weight(Complex[] data, int n)
{
    for(var i = 0; i < data.Length; ++i)
    {
        var theta = -Math.PI * i / n;
        data[i] *= new Complex(Math.Cos(theta), Math.Sin(theta));
    }
}

/// <summary>
/// <paramref name="data"/>[i] *= <see cref="Math.E"/>^(<see cref="Math.PI"/>*i/<paramref name="n"/>)
/// </summary>
private static void UnWeight(Complex[] data, int n)
{
    for (var i = 0; i < data.Length; ++i)
    {
        var theta = Math.PI * i / n;
        data[i] *= new Complex(Math.Cos(theta), Math.Sin(theta));
    }
}

CeilingPowerOf2参考《Hacker's Delight - Power-Of-2 Boundaries》。

Radix2Forward和Radix2Inverse参考《Cooley–Tukey FFT Algorithm - Iterative Edition》。

private static readonly int MASK = 0xFF;
/// <summary>
/// <see cr