什么叫行列式

《行列式：数学中的重要概念及其应用》

行列式是数学中的一个重要概念，主要用于描述线性方程组、向量空间等方面的性质。以下是关于它的详细介绍：

定义

行列式是由排成正方形的一组数（称为元素）按照特定的规则计算得到的一个数值。对于二阶行列式，它通常表示为$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$，其值为$ad-bc$。例如，$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right|=2\tilde{A}—5-3\tilde{A}—4=10-12=-2$。

对于三阶行列式$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|$，其值可以按照 “对角线法则” 或 “按行（列）展开法则” 来计算。

性质

转置性质：行列式与其转置行列式的值相等，即$D=D^T$。例如，若$D=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$，其转置$D^T=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|$，两者的值都为$-2$。

换行（列）性质：交换行列式的两行（列），行列式的值变号。例如，$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2$，交换两行后$\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right|=2$。

倍乘性质：若行列式某一行（列）中的元素都乘以同一个数$k$，则行列式的值等于原行列式的值乘以$k$。

倍加性质：将行列式某一行（列）的每个元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

应用

求解线性方程组：通过克莱姆法则，利用行列式可以求解线性方程组。如果线性方程组的系数行列式不为零，则方程组有唯一解，解可以用行列式表示。

判断向量组的线性相关性：在向量空间中，若向量组构成的行列式的值为零，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。

计算矩阵的逆：对于可逆矩阵，其逆矩阵的元素可以通过行列式和伴随矩阵来计算。

求矩阵的秩：矩阵的秩与它的非零子式的最高阶数有关，而子式就是行列式，通过计算行列式是否为零可以确定矩阵的秩。