CF1478A - Nezzar and Colorful Ball(数学)

CF1478A - Nezzar and Colorful Balls

Solution

真不戳，这$A$题真不戳，我直接好家伙。

讲一下我搞了半个小时的垃圾做法 （好吧后来看了看标算好像和我是一样的） 。
大概是容易发现你两个数$(x,y)$做来做去最后一定是$ax-(a-1)y$的形式，然后再继续搞一搞三个数的，最后你发现每个数的贡献次数之和等于$1$，于是问题变成了这样子：
给定$a_1...a_n$，问是否存在一个$x_1...x_n$，使得：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{x}_i=1 \\ \sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=k \end{gathered}$$
从上面的式子可知：
$$x_n=1-\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i$$
代入下面的式子：
$$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i=\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i{x}_i+a_n(1-\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i)=\sum _{i=1}^{n-1}(a_i-a_n)x_i+a_n$$
于是我们有：
$$\sum _{i=1}^{n-1}(a_i-a_n)x_i=k-a_n$$
那么就是一个${\sum }_i{a}_i{x}_i=b$的裴蜀定理的形式，有解的条件就是：
$$gcd(a_i-a_n)|k-a_n$$
注意这里为了避免$a_i-a_n<0$，我们给降序序列排序，于是$a_n$为最小值。

时间复杂度$O(nlgn)$。

然后就没了，对，就没了。我真是个铁憨憨。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
ll a[MAXN];
ll gcd(ll x,ll y) { return y==0?x:gcd(y,x%y); }
signed main()
{
	int Case=read();
	while (Case--)
	{
		int n=read(); ll k=read(),g=0;
		for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
		sort(a+1,a+n+1,greater<ll>());
		for (int i=1;i<n;i++) a[i]-=a[n]; k-=a[n];
		for (int i=1;i<n;i++) g=gcd(g,a[i]);
		puts(k%g==0?"YES":"NO");
	} 
	return 0;
}