【人工智能原理及其应用】习题二(4)

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前言

参考/参照书籍：
《人工智能原理及其应用（第4版）》，王万森编著，北京-电子工业出版社，2018.8
ISBN 978-7-121-34443-5

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(补充)【常用等价式】

①¬ ¬P⇔P
②P∨Q⇔Q∨P，P∧Q⇔Q∧P
③(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)
 (P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)
④P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)
 P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)
⑤¬P∨Q⇔¬P∧¬Q
 ¬P∧Q⇔¬P∨¬Q
⑥P∨(P∧Q)⇔P，P∧(P∨Q)⇔P
⑦P∨¬P⇔T，P∧¬P⇔F
⑧P→Q⇔¬P∨Q
 P↔Q⇔(P→Q)∧(Q→P)
 P↔Q⇔(P∧Q)∨(¬Q∧¬P)
⑨¬(∃x)P(x)⇔(∀x)(¬P(x))
 ¬(∀x)P(x)⇔(∃x)(¬P(x))
⑩(∀x)(P(x)∧Q(x))⇔(∀x)P(x)∧(∀x)Q(x)
 (∃x)(P(x)∨Q(x))⇔(∃x)P(x)∨(∃x)Q(x)

(补充)【常用永真蕴涵式】

①P∧Q⇒P，P∧Q⇒Q
②P⇒P∨Q，Q⇒P∨Q
③¬P，P∨Q⇒Q
④P，P→Q⇒Q
⑤¬Q，P→Q⇒¬P
⑥P→Q，Q→R⇒P→R
⑦P∨Q，P→R，Q→R⇒R
⑧(∀x)P(x)⇒P(y)
⑨(∃x)P(x)⇒P(y)

2.31 什么是置换？什么是合一？

置换：
在不同谓词公式中，往往会出现多个谓词的谓词名相同但个体不同的情况，此时推理过程是不能直接进行匹配的，需要先进行变元的替换。这种利用项对变元进行替换叫置换。

合一：
利用置换使两个或多个谓词的个体一致。

2.32 判断下列公式是否为可合一，若可合一，则求出其相应的置换。

(1)P(a，b)，P(x，y)
(2)P(f(x)，b)，P(y，z)
(3)P(f(x)，y)， P(y，f(b))
(4)P(f(y)，y，x)，P(x，f(a)，f(b))
(5)P(x，y)，P(y，x)

(1)可合一，其置换为:θ={a/x，b/y}。
(2)可合一，其置换为:θ={y/f(x)，b/z}。
(3)可合一，其置换为:θ={f(b)/y，b/x}。
(4)不可合一。
(5)可合一，其置换为:θ={y/x}。

2.33 什么是自然演绎推理？它所依据的推理规则是什么？

自然演绎推理：从一组已知为真的事实出发，运用经典逻辑中的推理规则得到的结论。
依据的推理规则：假言推理、拒取式推理、假言三段论等经典逻辑中的推理规则。

2.34 什么是谓词公式的可满足性？什么是谓词公式的不可满足性？

对于谓词公式P，如果至少存在D上的一个解释，使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P在D上是可满足的。按照此定义，对谓词公式P，如果不存在任何解释，使得P的取值为T，则称公式为不可满足的。

2.35 什么是谓词公式的前束范式？什 么是谓词公式的Skolem 范式？

设F为一谓词公式，如果其中的所有量词均非否定地出现在公式的最前面，而它们的辖域为整个公式，则称F为前束范式。一般地，前束范式可写成：(Q1x1)(Q2x2)(Qmxm)M(x1, x2, ···, xn)
如果前束范式中所有的存在量词都在全称量词之前，则称这种形式的谓词公式Skolem范式。

2.36 什么是子句集？如何将谓词公式化为子句集？

文字：原子谓词公式及其否定。
子句：任何文字的析取式。
空子句：不含任何文字的子句。
子句集：由空子句构成的集合。

子句集的化简步骤：
（1）消去谓词公式中的连接词“→”和“↔”符号
（2）把否定符号移到紧靠谓词的位置上
（3）变量标准化
（4）化为前束范式
（5）消去存在量词
（6）化为Skolem标准形
（7）消去全称量词
（8）消去合取词
（9）子句变量标准化，即，使每个子句中的变量符号不同

2.37 把下列谓词公式化成子句集

(1)(∀x)(∀y)(P(x，y)∧Q(x，y))
(2)(∀x)(∀y)(P(x，y)→Q(x，y))
(3)(∀x)(∃y)(P(x，y)∨(Q(x，y)→R(x，y)))
(4)(∀x)(∀y)(∃z)(P(x，y)→Q(x，y)∨R(x，z))

(1)由于(∀x)(∀y)(P(x，y)∧Q(x，y))已经是Skolem标准型，且P(x，y)∧Q(x，y)已经是合取范式，所以可直接消去全称量词、合取词，得
{P(x，y)，Q(x，y)}
再进行变元换名得子句集:
S={P(x，y)，Q(u，v)}

(2)对谓词公式(∀x)(∀y)(P(x，y)→Q(x，y))，先消去连接词“→”得:
(∀x)(∀y)(¬P(x，y)∨Q(x，y))
此公式已为Skolem标准型，再消去全称量词得子句集:
S={¬P(x，y)∨Q(x，y)}

(3)对谓词公式(∀x)(∃y)(P(x，y)∨(Q(x，y)→R(x，y)))，先消去连接词“→”得:
(∀x)(∃y)(P(x，y)∨(¬Q(x，y)∨R(x，y)))
此公式已为前束范式，再消去存在量词即用Skolem函数f(x)替换y得:
(∀x)(P(x，f(x))∨¬Q(x，f(x))∨R(x，f(x)))
此公式已为Skolem标准型，再消去全称量词得子句集:
S={P(x，f(x))∨¬Q(x，f(x))∨R(x，f(x))}

(4)对谓词公式(∀x)(∀y)(∃z)(P(x，y)→Q(x，y)∨R(x，z))，先消去连接词“→”得:
(∀x)(∀y)(∃z)(¬P(x，y)∨Q(x，y)∨R(x，z))
此公式已为前束范式，再消去存在量词即用Skolem函数f(x，y)替换z得:
(∀x)(∀y)(¬P(x，y)∨Q(x，y)∨R(x，f(x，y)))
此公式已为Skolem标准型，再消去全称量词得子句集:
S={¬P(x，y)∨Q(x，y)∨R(x，f(x，y))}

2.38 鲁滨逊归结原理的基本思想是什么？

鲁滨逊归结原理的基本思想是：
首先把欲证明问题的结论否定，并加入子句集，得到一个扩充的子句集S’；然后设法检验子句集S’是否含有空子句，若含有空子句，则表明S是不可满足的；若不含有空子句，则继续使用归结法，在子句集中选择合适的子句进行归结，直至导出空子句或不能继续归结为止。

2.39 判断下列子句集中哪些是不可满足的。

(1){¬P∨Q，¬Q，P，¬P}
(2){P∨Q，¬P∨Q，P∨¬Q，¬P∨¬Q}
(3){P(y)∨Q(y)，¬P(f(x))∨R(a)}
(4){¬P(x)∨Q(x)，¬P(y)∨R(y)，P(a)，S(a)，¬S(z)∨¬R(z)}
(5){¬P(x)∨Q(f(x)，a)，¬P(h(y))∨Q(f(h(y))，a)∨¬P(z)}
(6){P(x)∨Q(x)∨R(x)，¬P(y)∨R(y)，¬Q(a)，¬R(b)}
(1)是不可满足，其归结过程为:

(2)是不可满足，其归结过程为:

(3)不是不可满足，原因是不能由它导出空子句

(4)是不可满足，其归结过程为:

(5)不是不可满足，原因是不能由它导出空子句

(6)是不可满足，其归结过程为:

2.40 对下列各题分别证明G是否为F1，F2，···，Fn的逻辑结论：

(1)F：(∃x)(∃y)P(x，y)
  G：(∀y)(∃x)P(x，y)
(2)F：(∀x)(P(x)∧(Q(a)∨Q(b)))
  G：(∃x)(P(x)∧Q(x))
(3)F：(∃x)(∃y)(P(f(x))∧(Q(f(y)))
  G： P(f(a))∧P(y)∧Q(y)
(4)F1：(∀x)(P(x)→(∀y)(Q(y)→¬L(x，y)))
  F2：(∃x)(P(x)∧(∀y)(R(y)→L(x，y)))
G：(∀x)(R(x)→¬Q(x))
(5)F1：(∀x)(P(x)→(Q(x)∧R(x)))
  F2：(∃x)(P(x)∧S(x))
  G：(∃x)(S(x)∧R(x))

(1)先将F和G化成子句集：
S={P(a,b)，P(x,b)}再对S进行归结：

所以，G是F的逻辑结论

(2)先将F和G化成子句集
由F得：S1={P(x)，(Q(a)∨Q(b))}
由于G为：(∃x)(P(x)AQ(x)),即
(∀x)(P(x)∨Q(x)),
可得：S2={P(x)∨Q(x)}
因此，扩充的子句集为：
S={P(x)，(Q(a)∨Q(b))，P(x)∨Q(x)}再对S进行归结：

所以，G是F的逻辑结论
同理可求得(3)、(4)和(5),其求解过程略。

2.41 设已知【v是u的祖父】

(1)如果x是y的父亲，y是z的父亲，则x是z的祖父；
(2)每个人都有一个父亲。
试用归结演绎推理证明：对于某人u，一定存在一个人v，v是u的祖父。

先定义谓词
F(x，y)：x是y的父亲
GF(x，z)：x是z的祖父
P(x)：x是一个人
再用谓词把问题描述出来：
已知
F1：(∀x)(∀y)(∀z)(F(x，y)∧F(y，z))→GF(x，z))
F2：(∀y)(P(x)→F(x，y))
求证结论G：(∃u)(∃v)(P(u)→GF(v，u))
然后再将F1，F2和G化成子句集：
①¬F(x，y)∨¬F(y，z)∨GF(x，z)
②¬P®∨F(s，r)
③P(u)
④¬GF(v，u))
对上述扩充的子句集，其归结推理过程如下：

2.42 设已知【有些很聪明的人并不识字】

(1)能阅读的人是识字的；
(2)海豚不识字；
(3)有些海豚是很聪明的。
请用归结演绎推理证明：有些很聪明的人并不识字。
解：第一步，先定义谓词，
设R(x)：x是能阅读的；
K(y)：y是识字的；
W(z)：z是很聪明的；
第二步，将已知事实和目标用谓词公式表示出来
能阅读的人是识字的：(∀x)(R(x))→K(x))
海豚不识字：(∀y)¬K(y)
有些海豚是很聪明的：(∃z)W(z)
有些很聪明的人并不识字：(∃x)(W(z)∧¬K(x))
第三步，将上述已知事实和目标的否定化成子句集：
①¬R(x))∨K(x)
②¬K(y)
③W(z)
④¬W(z)∨K(x)
第四步，用归结演绎推理进行证明

(补充)【假设张被盗，公安局派出5个人去调查】

案情分析时，侦查员A说：“赵与钱中至少有一个人作案”，侦查员B说：“钱与孙中至少有一个人作案”，侦查员C说：“孙与李中至少有一个人作案”，侦查员D说：“赵与孙中至少有一个人与此案无关”，侦查员E说：“钱与李中至少有一个人与此案无关”。如果这5个侦察员的话都是可信的，使用归结演绎推理求出谁是盗窃犯。
解：(1)先定义谓词和常量
设C(x)表示x作案，Z表示赵，Q表示钱，S表示孙，L表示李
(2)将已知事实用谓词公式表示出来
赵与钱中至少有一个人作案：C(Z)∨C(Q)
钱与孙中至少有一个人作案：C(Q)∨C(S)
孙与李中至少有一个人作案：C(S)∨C(L)
赵与孙中至少有一个人与此案无关：(C(Z)∧C(S))，即C(Z)∨C(S)
钱与李中至少有一个人与此案无关：(C(Q)∧C(L))，即C(Q)∨C(L)
(3)将所要求的问题用谓词公式表示出来，并与其否定取析取。
设作案者为u，则要求的结论是C(u)。将其与其否)取析取，得：
¬C(u)∨C(u)
(4)对上述扩充的子句集，按归结原理进行归结，其修改的证明树如下:
因此，钱是盗窃犯。实际上，本案的盗窃犯不止一人。根据归结原理还可以得出:

因此，孙也是盗窃犯。

(补充)【例2.34 “快乐学生”问题】

假设：任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的，任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试，马不肯学习但他是幸运的，任何幸运的人都能获奖。求证：马是快乐的。

先将问题用谓词表示如下：
“任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”
(∀x)(Pass(x，computer)∧Win(x，prize)→Happy(x))
“任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”
(∀x)(∀y)(Study(x)∨Lucky(x)→Pass(x，y))
“马不肯学习但他是幸运的”
¬Study(Ma)∧Lucky(Ma)
“任何幸运的人都能获奖”
(∀x)(Lucky(x)→Win(x，prize))
目标“马是快乐的”的否定
¬Happy(Ma)

将上述谓词公式转化为子句集如下:
①¬Pass(x，computer)∨¬Win(x，prize)∨Happy(x)
②Study(y)∨Pass(y，z)
③¬Lucky(u)∨Pass(u，v)
④¬Study(Ma)
⑤Lucky(Ma)
⑥¬Lucky(w)∨Win(w，prize)
⑦¬Happy(Ma)（本子句为结论的否定)

按谓词逻辑的归结原理对此子句集进行归结，其归结反演树如图2.37所示。

(补充)【例2.35 “激动人心的生活”问题。】

假设:所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的。那些看书的人是聪明的。黎明能看书且不贫穷。快乐的人过着激动人心的生活。求证:黎明过着激动人心的生活。
解:先将问题用谓词表示如下:
“所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的”
(∀x)((¬Poor(x)∧Smart(x))→Happy(x))“那些看书的人是聪明的”
(∀y)(Read(y)→Smart(y))“黎明能看书且不贫穷”
Read(LiMing)-Poor(LiMing)“快乐的人过着激动人心的生活”
(∀z)(Happy(z)→Exciting(z))
目标“黎明过着激动人心的生活”的否定
¬Exciting(LiMing)
将上述谓词公式转化为子句集如下:
①Poor(x)∨-Smart(x)∨Happy(x)
②¬Ready)∨ Smart(y)
③Read(LiMing)
④-Poor(LiMing)
⑤¬Happy(z)∨Exciting(z)
⑥¬Exciting(LiMing)
按谓词逻辑的归结原理对此子句集进行归结，其归结反演树如图2.38所示。