MIT 18.02 多变量微积分总结（Part II）

Line Integrals

三种基本的曲线积分种类

line integrals with respect to arc length

求曲线长度的积分一目了然：$L=\int_{a}^{b} ds$，其中的 $ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$. 根据这个我们有了对弧长的线积分，它的基本形式如下：

$$\int_{C} f(x,y)ds$$

从上面的曲线积分中可以看出，它的积分是一重的，而 differential 却有2个，因此我们一定需要参数化方程，从而去掉一个变量，在上面求曲线长度的积分中，变量 $x,y$ 被参数化成了一个变量 $t$。下图是我从 Paul’s Online Math Notes 截下来几种基本曲线的参数方程形式：

对于 piecewise smooth curves（比如下图） 来说，它的计算也很简单，就是把各个部分的积分累加起来，公式如下：

$$\int_{C} f(x,y)ds=\int_{C_1} f(x,y)ds+\int_{C_2} f(x,y)ds+\int_{C_3} f(x,y)ds+\int_{C_4} f(x,y)ds$$

关于这种类型的曲线积分有以下2种性质：

1. Not Path-independence. 起点终点相同，但是积分路径不同，会导致不同的积分结果
2. 在同一条积分路径上，积分方向不会影响积分结果

line integrals with respect to x, y, and/or z

The line integral of f with respect to x is,

$$\int_{C} f(x,y)dx$$

The line integral of f with respect to x is,

$$\int_{C} f(x,y)dy$$

从上面的定义可以看出，它和对弧长的线积分唯一不同就是 differential. 上面的2种积分经常一起出现，因此通常用下面的 notation 去表示它们：

$$\int_{C} P(x,y)dx+\int_{C} Q(x,y)dy=\int_{C} Pdx+Qdy$$

对于这种类型的积分来说，积分方向相反会导致积分的结果相反，因此得到如下3种表达：

$$\int_{C} f(x,y)dx=-\int_{-C} f(x,y)dx \\ \int_{C} f(x,y)dy=-\int_{-C} f(x,y)dy\\ \int_{C} Pdx+Qdy=-\int_{-C} Pdx+Qdy$$

Line Integrals of Vector Fields

下图中是关于 Vector Fileds 的定义：

这种类型的积分定义如下：

$$\int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}=\vec{F} \cdot \vec{T}ds$$

• 上述公式中的 $\vec{F}$ 是 vector field，$\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$
• 上述公式中的 $\vec{r}$ 是位置向量，$\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$
• $\vec{T}$ 是轨迹各处的切线方向，$ds$ 是 $d\vec{r}$ 的大小

那么我们如何求解这种类型的线积分呢？可以直接用下图中推导出的结果来求：

上图之所以 $ds=||\vec{r'}(t)||dt$，是因为 speed 乘以时间等于路程。文章中 的例子给出了用这种方法求解的例子，很简单。

上面介绍的方法是直接求解，我们还有另一种方法也可以求解。由于 $\vec F=\langle P,Q,R, \rangle, d\vec r=\langle dx,dy,dz \rangle$，因此得：

$$\int _{C}\vec {F}\cdot d\vec {r}=\int _{C}Pdx+Qdy+Rdz$$

从上面的结果可以看到，它同时也是一个 line integrals with respect to x, y, and z，因此这给我们另一种求解的方式。由于它也属于对坐标的线积分，因此它也具体如下性质：

沿路径积分的方向相反会导致积分结果相反

上述介绍的只是冰冷的公式，而 MIT 的教授在课上给出了物理意义，在下面的小节中，我把这些物理意义总结下来。

Fundamental Theorem for Line Integrals

In Calculus I we had the Fundamental Theorem of Calculus that told us how to evaluate definite integrals. This told us,

$$\int^{b}_{a}F'\left( x\right) dx=F(b)-F(a)$$

这个定理与之类似。定理内容摘自 Fundamental Theorem for Line Integrals，同时这篇文章的内容也给出了定理的证明：

If $\vec{F}=\nabla f$ is a gradient field and $C$ is any curve with endpoints