概率密度函数(probability density function)课程笔记

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一个合法的PDF有2个条件：

1. $f_X(x) \ge 0$
2. $\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)dx = 1$

取值在一个连续的集合上，并且它的概率能通过PDF来描述,这样的随机变量才是连续随机变量。

对于连续随机变量X，它在区间[a, b]的概率为：

$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b}f_X(x)dx$

根据概率的性质，概率都是$\ge 0$的，所以上面的积分都是大于等于0的，所以$f_X(x) \ge 0$

在连续随机变量中，单个点a的概率都为P(X = a) = 0。所以：

$P(a \le X \le b) = p(X = a) + P(X = b) + P(a \lt X \lt b) = P(a \lt X \lt b)$

期望与方差

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx$

为了使上面的积分成立，我们需要做如下假设：

$\int_{-\infty}^{\infty}|x|f_X(x)dx \lt \infty$

我们可以把期望看作是大量独立重复实验的平均值。

在连续随机变量下，期望依然具有与离散随机变量相似的性质：

1. 如果$X \ge 0， 那么E[X] \ge 0$
2. 如果$a \le X \le b，那么a \le E[X] \le b$