附加理论材料课程笔记

几何PMF的方差

容斥定理

我们可以用指示器随机变量来推导出上面的公式：

通过先前的学习，已经知道对于一个事件A的指示器随机变量的期望为$E[I_A] = P(A)$。

设事件A = $A_1 \cup A_2 \cup A_3$，它的指示器随机变量为$I_A$，则$P(A) = E[I_A]$

设事件$A_1$的指示器随机变量为$X_1$，则$A_1^c$的指示器随机变量为1 - $X_1$；
设事件$A_2$的指示器随机变量为$X_2$，则$A_2^c$的指示器随机变量为1 - $X_2$；
设事件$A_3$的指示器随机变量为$X_3$，则$A_3^c$的指示器随机变量为1 - $X_3$；

根据De Morgan’s laws可得：$A_1 \cup A_2 \cup A_3 = 1 - A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c$

$E[I_A] = E[1 - (1 - X_1)(1 - X_2)(1 - X_3)] = E[1 - 1 + X_1 + X_2 + X_3 - X_1 * X_2 - X_1 * X_3 - X_2 * X_3 + X_1 * X_2 * X_3]$

根据期望的线性性质可得：$E[I_A] = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A) = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)$

同理可证更为通用的表达式如下：

随机变量的独立性与事件的独立性之间的关系