除法逆元（ZS and The Birthday Paradox，cf 711E）

最新推荐文章于 2019-10-03 18:46:11 发布

冷月残星

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分类专栏：数学题 codeforces

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本文介绍了一种在模意义下计算除法逆元的方法，并通过具体实例讲解了如何利用该方法解决相关问题。文章详细解释了逆元的概念、求解技巧以及在实际编程中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这题真挺不错的，需要一些数学知识，对细节要求高。

一些资料与参考：

除法逆元 http://blog.youkuaiyun.com/acmmaxx/article/details/18409701

逆元详解 http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/8220787

参考代码 http://blog.youkuaiyun.com/miracle_ma/article/details/52383461

寻找一共有多少个2的因子时用的方法不错。

不能写成pow，要写成mypow。

最后输出分子时要多次取模防止出现负数。

当a为正整数，m为素数，而且a与m互素时，a模m的逆元为a^(m-2)模m。

此题中a为2，m为一个素数。显然2与m互素。代入公式直接求逆元。

求逆元是为了使用除法逆元公式。

( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c==((a%c)*(b1%c))%c

其中b1是b模c的逆元。

在计算过程中需要求分子分母gcd模m的逆元。

带入公式，即2^(cnt*(m-2))%m的值。

难道直接mypow(mypow（2，cnt）,m-2)%m来算吗？

其实完全可以这样算，几乎不会更慢。但这个表达式是可以化简的。

根据费马小定理，2^(m-1)%m==1。

所以：2^(cnt*(m-2))%m=(2^(m-1)%m * 2^(m-1)%m * ...... * 2^(m-1)%m * 2^(cnt*(m-2)%(m-1)))%m=2^(cnt*(m-2)%(m-1))%m。

乘法取模，化简，乘开来，化简，得：2^(-cnt%(m-1))%m，。

根据费马小定理，以及乘法取模上式=(2^(-cnt%(m-1))*2^(m-1))%m=2^(m-1-tmp%(m-1))。

这就是代码中aaa的由来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod=1000003;
ll n,k;

ll mypow(ll x,ll n)
{
    ll ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ret=(ret*x)%mod;
        }
        x=(x*x)%mod;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%I64d %I64d",&n,&k);
    ll x=0;
    while((1ll<<x)<k) x++;
    if(x>n)
    {
        puts("1 1");
        return 0;
    }
    ll cnt=0;
    for(ll i=2;i<k;i<<=1)
    {
        cnt+=(k-1)/i;//这个方法好，一开始在这里超时了。我还一个个的找。
    }
    ll aaa=mypow(2,mod-1-cnt%(mod-1));//用mypow不能用pow，aaa化简了，但并没有快多少。
    ll fm=(mypow(mypow(2,n),k-1)*aaa)%mod;
    if(k-1>=mod) printf("%I64d %I64d\n",fm,fm);
    else
    {
        ll fz=1;
        ll da=mypow(2,n);
        for(ll i=1;i<k;i++)
            fz=(fz*(da-i))%mod;
        fz=(fz*aaa)%mod;
        printf("%I64d %I64d\n",((fm-fz)%mod+mod)%mod,fm);//小细节，为了防止输出负数。
    }
    return 0;
}