复杂度分析精要-优快云博客

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写在前面：
本系列文章只作为自己学习数据与结构算法这门课过程的记录，如果有不对的地方，欢迎读者指出，大家一起学习进步。
（注：文中图片来源于极客时间课程：《数据结构与算法之美》）

为什么要进行复杂度分析？

数据结构和算法解决是“如何让计算机更快时间、更省空间的解决问题”。时间复杂度和空间复杂度分别从时间、空间两个维度来衡量数据结构和算法的性能，二者被统称为复杂度。复杂度描述的是算法执行时间/数据结构占用空间与数据规模增长的关系。
那么为什么要进行复杂度分析呢？

与性能测试相比，复杂度分析不依赖测试环境，有效率高、指导性强的特点。
性能测试的测试结果受数据规模的影响很大，复杂度分析不需要具体的测试数据来测试，就可以粗略的估计算法的执行效率。

如何进行复杂度分析？

大O表示法：代码的执行时间与每行代码的执行次数成正比关系，可以表示为T(n) = O(f(n))，其中T(n)表示算法执行总时间，f(n)表示每行代码执行总次数，n表示数据的规模。
复杂度分析法则：
（1）多段循环取最大：一段代码中包含多段循环，取循环规模最大的代码段。
（2）嵌套循环取乘积：如递归、多重循环等。
（3）多个规模求加法：多个参数影响的多个数据规模，取几个循环的复杂度相加。
最坏情况时间复杂度：代码在最理想情况下执行的时间复杂度。
最好情况时间复杂度：代码在最坏情况下执行的时间复杂度。
平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。
举例：要查找的变量 x 在数组中的位置。
我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便你理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。
下面举一个均摊时间复杂度的例子。

 // array表示一个长度为n的数组
 // 代码中的array.length就等于n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。那平均时间复杂度是多少呢？答案是 O(1)。我们还是可以通过前面讲的概率论的方法来分析。假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：
在这里插入图片描述

常见的复杂度量级

多项式量级：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括：O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n²)（平方阶）、O(n³)（立方阶）
非多项式量级：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括：O(2ⁿ)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）
常见的复杂度排序：
从低阶到高阶有：：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(nⁿ)。
常见的空间复杂度：O(1)、O(n)、O(n²)。
引用课程后的评论区的一个例子：存储一个二进制数，输入规模（空间复杂度）是O(logn) bit。解释：比如8用二进制表示就是3+1个bit（8用二进制表示是：1000）。16用二进制表示就是4+1个bit（16用二进制表示是：10000）。以此类推 n用二进制表示就是(logn) +1个bit