小蒜蒜学菱形

题目描述

小蒜蒜最近学习了菱形(四边都相等的四边形)。 
 

现在她给了你一个字符,希望你能用它构造一个对角线长 5 个字符,倾斜放置的菱形。 
 

输入

输入只有一行,包含一个字符。

输出

该字符构成的菱形。

样例输入

*

样例输出


  *
 ***
*****
 ***
  *
#include<stdio.h>
int main()
{
    char a;
    scanf("%c",&a);
    printf("  %c  \n %c%c%c \n%c%c%c%c%c\n %c%c%c \n  %c  ",a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a);
    return 0;
}

 

<think>好的,我现在需要解决用户的问题:如何用编程方法从n个正整数中找到所有加起来等于目标值t的组合。比如数组是[1,2,3,4,5],目标t=5,应该有哪些解法呢? 首先,我得回忆一下相关算法。用户提到了类似的问题,比如0-1背包和子集和问题。这应该属于子集和问题的一个变种,需要找出所有可能的子集,其和等于目标值。根据引用[3],这类问题通常用回溯法解决,类似于生成全组合的二叉树结构,但需要剪枝不符合条件的路径。 那回溯法具体怎么实现呢?回溯法的基本思想是递归地尝试所有可能的选项,并在过程中剪枝,避免不必要的计算。比如,对于数组中的每个元素,可以选择包含或者不包含在当前组合中,然后递归处理剩下的元素。当当前和等于目标时,保存该组合;如果超过目标,就回溯。 但需要考虑数组元素是否可以重复使用。根据用户给的例子,数组里的每个元素只用一次,比如例子中的解是[1,4], [2,3], [5],这说明每个元素只能选一次。所以问题应该是找所有不重复元素组成的子集,其和等于t。 那如何避免重复的组合呢?例如,如果数组中有重复元素,像[1,1,2],目标3的话,可能生成两个[1,2],但实际上它们是重复的。但用户给的例子中的数组元素是唯一的,所以可能不需要处理重复元素。不过,一般情况下,可能需要先对数组排序,然后在递归时跳过相同的元素,防止生成重复组合。 现在,具体步骤应该包括: 1. 对数组进行排序,方便后续剪枝。 2. 使用回溯法,逐个尝试每个元素,累加当前和,记录路径。 3. 当当前和等于目标时,保存路径。 4. 如果当前和超过目标,或者已经处理完所有元素,就回溯。 5. 在递归时,跳过同一层中相同的元素,避免重复组合。 比如用户给的例子,数组是[1,2,3,4,5],目标5。排序后已经是升序。回溯过程可能如下: 从索引0开始,选择1,剩余目标4。接下来处理剩下的元素(索引1到4)。 尝试选2,剩余目标2。接着处理索引2到4。选3的话,剩余-1,超过,所以回溯。接下来选2后,选5的话超过,所以不行。然后可能选索引2的元素3,此时剩余是2-3= -1,超过,所以不行。那可能这时候需要处理后续的元素吗? 或者,可能在处理时,从当前索引的下一个开始,避免重复使用元素。例如,当选择元素i之后,下一步只能从i+1开始选,这样可以避免重复使用同一个元素,同时自然生成唯一的组合。 比如,当处理到元素2(索引1)时,当前和是1+2=3,剩余目标2。接下来从索引2开始,尝试3的话,3超过剩余目标2,所以不可能,所以不会选。接着是元素4,同样超过,所以无法继续。这时候,该路径无法满足,需要回溯。所以这个路径被剪枝。 然后回溯到选择1的情况,下一步可能选择不选2,而是选3。比如,选1之后,跳过2,选3,当前和是4,剩余目标1。接着选4的话,超过,无法。选5的话也不行。所以这条路径也不成功。接着选4的话,1+4=5,符合条件,保存[1,4]。然后继续回溯。 类似地,当不选1的时候,直接选2,然后剩余目标是3。选3的话刚好,保存[2,3]。或者选2之后选5,超过。这样一步步下去。 所以回溯法需要维护当前路径、起始索引、当前和等参数。并且在每一步中,从当前起始索引开始遍历元素,选择或跳过,然后递归处理后续的元素。 现在,需要考虑代码如何实现。例如,用Python的话,可以写一个递归函数,参数包括当前的组合、起始索引、当前和。每次递归时,从起始索引开始遍历数组中的元素,将当前元素加入路径,并更新当前和,然后递归调用,起始索引为当前元素的下一个位置。如果当前和等于目标,就将路径加入结果集。如果当前和超过目标,则剪枝,不再继续。 另外,为了优化,可以在循环中提前终止,当当前元素的值已经超过剩余目标时,因为数组是排序过的,后面的元素更大,所以不需要继续检查。例如,当剩余需要的是residual = target - current_sum,如果当前元素的值大于residual,那么后面的元素也一定大于,所以可以break循环,剪枝。 这样,代码的大体结构应该是: def combination_sum(nums, target): nums.sort() res = [] def backtrack(start, path, current_sum): if current_sum == target: res.append(path.copy()) return for i in range(start, len(nums)): if i > start and nums[i] == nums[i-1]: continue # 跳过重复元素,如果数组中有重复的话 if current_sum + nums[i] > target: break # 剪枝,因为后面的元素更大,不可能满足 path.append(nums[i]) backtrack(i+1, path, current_sum + nums[i]) path.pop() backtrack(0, [], 0) return res 不过,用户给的例子中的数组是没有重复元素的,所以可能不需要处理重复元素的情况。比如数组是[1,2,3,4,5],这时候直接运行上述代码的话,可以正确得到所有组合。例如,当i=0时,加入1,然后递归处理i=1到4。此时current_sum=1,剩余目标是4。接下来处理i=1(元素2),加入后current_sum=3,剩余2。再递归处理i=2到4。此时遍历的元素是3、4、5。当前sum+3=6>5,所以break循环。所以这条路径无效,回溯。然后回到i=1的情况,弹出2,接着处理i=2的元素3。此时sum=1+3=4,剩余1。继续处理i=3的元素4,sum+4=8>5,break。同样无效。然后弹出3,接着处理i=3的元素4:加入后sum=1+4=5,满足条件,添加到res。然后弹出4,回到i=0的循环,处理下一个元素,即i=1,元素2。此时,当前路径为空,sum=0。加入2,sum=2,剩余3。递归处理i=2到4的元素。加入3,sum=5,满足,保存[2,3]。然后继续处理i=3的元素4,sum=2+4=6>5,break。弹出4,回到i=2,弹出3,接着处理i=3的元素4,sum=2+4=6,超过,break。处理i=4的元素5,sum=2+5=7>5。所以这条路径结束。然后继续回溯到i=1的情况,弹出2,处理i=2的元素3,sum=3,剩余2。但此时sum+3=6>5,所以break。以此类推,最终得到所有可能的组合。 对于例子中的数组,应该得到[1,4], [2,3], [5],这与用户的例子一致。所以这个算法应该能解决问题。 但需要注意,这个算法的时间复杂度较高,因为需要遍历所有可能的子集。不过对于n较小的场合,这已经足够。当n较大时,可能需要更优化的方法,或者剪枝策略。 此外,引用[3]中提到的类似问题,比如0-1背包的变种,这里的解法确实类似于回溯法处理组合问题的方式。而引用[2]提到的分割数组的问题,虽然相关,但这里的问题更直接,属于子集和问题。 总结来说,实现步骤是: 1. 排序数组,方便剪枝。 2. 使用回溯法递归遍历所有可能的子集。 3. 在递归过程中,维护当前路径、起始索引和当前和。 4. 当和等于目标时,保存路径。 5. 当和超过目标时,剪枝。 6. 避免重复组合(如果数组有重复元素的话)。 现在,根据这个思路,可以写出对应的代码,并进行测试。</think>要解决从正整数数组中找出所有和为特定值的组合问题,可以采用回溯法进行递归搜索。以下是具体实现步骤和示例代码: ### 实现步骤 1. **排序预处理**:将数组升序排列,便于后续剪枝操作 2. **回溯框架**: - 维护当前路径、起始索引、当前累加值 - 当累加值等于目标值时记录有效组合 - 当累加值超过目标值时停止递归(剪枝) 3. **避免重复**:通过控制遍历起始索引确保元素不重复使用 4. **提前终止**:当当前元素已超过剩余需求值时停止遍历 ### 示例代码(Python) ```python def find_combinations(nums, target): nums.sort() # 预处理排序 result = [] def backtrack(start, path, current_sum): if current_sum == target: result.append(path.copy()) return for i in range(start, len(nums)): # 提前剪枝:当前元素过大 if current_sum + nums[i] > target: break # 避免重复组合(当数组有重复元素时) if i > start and nums[i] == nums[i-1]: continue path.append(nums[i]) backtrack(i+1, path, current_sum + nums[i]) # 注意i+1确保不重复使用 path.pop() backtrack(0, [], 0) return result # 测试示例 print(find_combinations([1,2,3,4,5], 5)) # 输出:[[1,4], [2,3], [5]] ``` ### 算法分析 - **时间复杂度**:最坏情况$O(2^n)$,但实际运行时间因剪枝效果大幅减少 - **空间复杂度**:$O(n)$(递归栈深度) - **优化点**:当元素可重复使用时,调整递归参数为`i`而非`i+1`[^3] ### 扩展应用 此方法可应用于: 1. 零钱兑换问题(允许重复使用时调整递归参数) 2. 资源分配优化问题 3. 组合优化类数问题求解
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