题目
输入:[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出:49
解释:图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下,容器能够容纳水(表示为蓝色部分)的最大值为 49。
示例 2:
输入:height = [1,1]
输出:1
提示:
n == height.length
2 <= n <= 105
0 <= height[i] <= 104
题解
该题目的解析方向为收缩查询防卫。采用双子针圈定检索范围,不断收缩。
收缩过程需要尽量减少步数。
双指针解法的要点:指针每一次移动,都意味着排除掉了一个柱子。
如下图所示,在一开始,我们考虑相距最远的两个柱子所能容纳水的面积。水的宽度是两根柱子之间的距离 d=8;水的高度取决于两根柱子之间较短的那个,即左边柱子的高度 h=3。水的面积就是 3×8=24。
如果选择固定一根柱子,另外一根变化,水的面积会有什么变化吗?稍加思考可得:
当前柱子是最两侧的柱子,水的宽度 d 为最大,其他的组合,水的宽度都比这个小。
左边柱子较短,决定了水的高度为 3。如果移动左边的柱子,新的水面高度不确定,一定不会超过右边的柱子高度 7。
如果移动右边的柱子,新的水面高度一定不会超过左边的柱子高度 3,也就是不会超过现在的水面高度。
由此可见,如果固定左边的柱子,移动右边的柱子,那么水的高度一定不会增加,且宽度一定减少,所以水的面积一定减少。这个时候,左边的柱子和任意一个其他柱子的组合,其实都可以排除了。也就是我们可以排除掉左边的柱子了。
这个排除掉左边柱子的操作,就是双指针代码里的 i++。i 和 j 两个指针中间的区域都是还未排除掉的区域。随着不断的排除,i 和 j 都会往中间移动。当 i 和 j 相遇,算法就结束了。
在这道题中,假设一共有 n 根柱子,编号 0,1,…,n−1,高度分别为 。我们要寻找的是两根柱子 i,j,它们需要满足的约束条件是:
i、j 都是合法的柱子下标,即 0≤i<n,0≤j<n
i 在 j 的左边,即 i<j
而我们希望从中找到容纳水面积最大的柱子 (i,j)。以 n=8 为例,这时候全部的搜索空间是:
由于 i、j 的约束条件的限制,搜索空间是白色的倒三角部分。可以看到,搜索空间的大小是
数量级的。如果用暴力解法求解,一次只检查一个单元格,那么时间复杂度一定是
。要想得到 O(n) 的解法,我们就需要能够一次排除多个单元格。那么我们来看看,本题的双指针解法是如何削减搜索空间的:
一开始,我们检查右上方单元格 (0,7),即考虑最左边的 0 号柱子和最右边的 7 号柱子,计算它们之间容纳水的面积。然后我们比较一下两根柱子的高度,关注其中较短的一根。
假设左边的 0 号柱子较短。根据刚才的推理,0 号柱子目前的水面高度已经到了上限。由于 7 号柱子已经是离 0 号柱子最远的了,水的宽度也最大,如果换其他的柱子和 0 号柱子配对,水的宽度只会更小,高度也不会增加,容纳水的面积只会更小。也就是说,0 号柱子和 6,5,…,1 号柱子的配对都可以排除掉了。记录了 (0,7) 这组柱子的结果之后,就可以排除 0 号柱子了。这相当于 i=0 的情况全部被排除。对应于双指针解法的代码,就是 i++;对应于搜索空间,就是削减了一行的搜索空间,如下图所示。
排除掉了搜索空间中的一行之后,我们再看剩余的搜索空间,仍然是倒三角形状。我们检查右上方的单元格 (1,7),即考虑 1 号柱子和 7 号柱子,计算它们之间容纳水的面积。然后,比较两根柱子的高度。
假设此时 7 号柱子较短。同理, 7 号柱子已经是离 1 号柱子最远的了,如果换其他的柱子和 1 号柱子配对,水的宽度变小,高度也不会增加,容纳水的面积只会更小。也就是说,7 号柱子和 2,3,…,6 号柱子的配对都可以排除掉了。记录了 (1,7) 这组柱子的结果之后,就可以排除 7 号柱子了。这相当于 j=7 的情况全部被排除。对应于双指针解法的代码,就是 j--;对应于搜索空间,就是削减了一列的搜索空间,如下图所示。
可以看到,无论柱子 i 和 j 哪根更长,我们都可以排除掉一行或者一列的搜索空间。经过 n 步以后,就能排除所有的搜索空间,检查完所有的可能性。搜索空间的减小过程如下面动图所示:
代码
func maxArea(height []int) int {
i := 0
ans := 0
j := len(height) -1
for i < j{
ans = max(ans, min(height[i], height[j])*(j- i))
if height[i] < height[j]{
i++
}else{
j--
}
}
return ans
}
参考文章
链接:https://leetcode.cn/problems/container-with-most-water/solutions/94102/on-shuang-zhi-zhen-jie-fa-li-jie-zheng-que-xing-tu/