题解 BZOJ1041/luogu P2508 [HAOI2008]圆上的整点

最新推荐文章于 2020-08-25 16:43:49 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-25 16:43:49 发布 · 287 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

题解同时被 3 个专栏收录

9 篇文章

订阅专栏

省选题

3 篇文章

订阅专栏

数学题

1 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种高效算法，用于计算给定圆周上整数坐标点的数量。通过对坐标范围的有效缩小和利用数学性质进行筛选，避免了传统枚举方法的效率瓶颈。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

Sample Output

解法：

一道极其经典的题……
还有一个极其经典的题解。
不过先说两句我的想法：由于数据范围比较大，所以显然不能直接从1到r枚举x之类。于是我们就需要想到一个更好的枚举坐标的办法。
这样我们就想到了一个奇怪的推导使得我们缩小了需要枚举的范围。
具体的过程看这个博客就好啦！
http://blog.youkuaiyun.com/csyzcyj/article/details/10044629
不过几个需要注意的地方：他说的d有两种情况，因为他两个情况用的同一个d，我搞混了之后弄了很久才明白。可以自己把第一个d代换成d‘。
两个数互质的话，它们的平方肯定也互质。
然后还有判断一个数是否是完全平方数的神奇方法：
double x=sqrt(n);
floor(x)==x的话n就是完全平方数。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b)
{
  if(a<b)swap(a,b);
  return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
}
bool check(ll x,double y)
{
  if(floor(y)==y)
  {
    ll y1=(ll)floor(y);
    if(gcd(x,y1)==1 && x!=y1) return true;
  }
  return false;
}
int main()
{
  ll r;
  scanf("%lld",&r);
  ll ans=0;
  for(ll d=1;d*d<=2*r;d++)
  {
    if((2*r)%d==0)
    {
      for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(r/d);a++)
      {
        double b=sqrt(((2*r)/d)-a*a);
        if(check(a,b)) ans++;
      }
      if(d!=(2*r)/d)
      {
        for(long long a=1;a<=(long long)sqrt(d/2);a++)
        {
          double b=sqrt(d-a*a);
          if(check(a,b)) ans++;
        }
      }
    }
  }
  printf("%lld",ans*4+4);
  return 0;
}

好啦晚安xD