LeetCode-Unique Binary Search Trees

题目:https://oj.leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
分析:

当数组为1,2, 3... n 时,基于以下原则的构建的BST 树具有唯一性:以i 为根节点的树,其左子树由[1, i-1] 构成,其右子树由[i+1, n] 构成。

定义f(i) 为以[1; i] 能产生的Unique Binary Search Tree 的数目,则
如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树,f(0) = 1。
如果数组仅有一个元素1,只有一种BST,单个节点,f(1) = 1。

f(2) = f(0) f(1) ,1 为根的情况
          + f(1) f(0) ,2 为根的情况

再看一看3 个元素的数组,可以发现BST 的取值方式如下:
f(3) = f(0) f(2) ,1 为根的情况
          + f(1) f(1) ,2 为根的情况
          + f(2) f(0) ,3 为根的情况


所以,由此观察,可以得出f 的递推公式为

至此,问题划归为一维动态规划。

源码:Java版本

算法分析:时间复杂度O(n^2),空间复杂度O(n)。

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] f=new int[n+1];
        f[0]=1;
        f[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++) {
            for(int j=0;j<=i-1;j++) {
                f[i]+=f[j]*f[i-1-j];
            }
        }
        return f[n];
    }
}

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