LeetCode-Unique Binary Search Trees

题目：https://oj.leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

分析：

当数组为1,2, 3... n 时，基于以下原则的构建的BST 树具有唯一性：以i 为根节点的树，其左子树由[1, i-1] 构成，其右子树由[i+1, n] 构成。

定义f(i) 为以[1; i] 能产生的Unique Binary Search Tree 的数目，则
如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，f(0) = 1。
如果数组仅有一个元素1，只有一种BST，单个节点，f(1) = 1。

f(2) = f(0) f(1) ，1 为根的情况
          + f(1) f(0) ，2 为根的情况

再看一看3 个元素的数组，可以发现BST 的取值方式如下：
f(3) = f(0) f(2) ，1 为根的情况
          + f(1) f(1) ，2 为根的情况
          + f(2) f(0) ，3 为根的情况

所以，由此观察，可以得出f 的递推公式为

至此，问题划归为一维动态规划。

源码：Java版本

算法分析：时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)。

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] f=new int[n+1];
        f[0]=1;
        f[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++) {
            for(int j=0;j<=i-1;j++) {
                f[i]+=f[j]*f[i-1-j];
            }
        }
        return f[n];
    }
}