排列、组合

本文详细介绍了排列与组合的基本概念及计算公式。首先解释了排列的概念及其公式推导过程,随后介绍了组合的概念并给出了计算公式。

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一、排列

  从n个不同元素中,取m个元素按一定顺序排成一列,即为一个排列,在这n个元素中所有这样不同排列的集合记为A(n,m)。当然m要小于等于n。

  公式 : A(n,m) = n! / (n-m)!

  推导: 从n个元素中取,第一次取有 n 种可能,第二次又 n - 1 中可能,一直取到第m个球,有 n - m + 1 种可能,那么公式如下

a(n,m) = n * (n-1) * (n-2) *(n-3)... * (n-m+1) = [ n * (n-1) * (n-2) *(n-3)... * (n-m+1) ]  * [ (n-m) * (n-m-1) ...*1 ] / [ (n-m) * (n-m-1) ...*1 ]   分号上面正好合成一个 n 的阶乘,下面是一个 (n-m)的阶乘,从而推导出公式 a(n,m) = n! / (n-m)!


二、组合

  从n个不同元素中,取m个元素组成一个组合(无序),这样的组合总数记为 C(n,m)。

  公式:  C(n,m) = A(n,m) / m! 

### 排列组合的数学定义与公式 #### 一、排列的定义与公式 排列是指从 \( n \) 个不同元素中取出 \( m \) 个 (\( m \leq n \)) 元素,按照一定的顺序排成一列的方式总数。其计算公式如下: \[ P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} \] 其中,\( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘,即 \( n \times (n-1) \times ... \times 1 \)[^2]。 对于特殊情况,当 \( m = n \),则称为全排列,此时公式简化为: \[ P(n, n) = n! \] #### 二、组合的定义与公式 组合是从 \( n \) 个不同的元素中选取 \( m \) 个 (\( m \leq n \)) 元素组成一组的方法数目,不考虑这些元素之间的相对次序。其计算公式为: \[ C(n, m) = \binom{n}{m} = \frac{P(n, m)}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \] 这里引入了二项式系数符号 \( \binom{n}{m} \),它也被称为“从 \( n \) 中取 \( m \)”。 #### 三、多重集合的排列组合 如果存在重复元素,则需调整上述公式的应用方式。假设有一个包含多种类型对象的集合,每种类型的数量分别为 \( k_1, k_2, ..., k_r \),总共有 \( n = k_1 + k_2 + ... + k_r \) 个对象。那么该多重集的全排列数可以表示为: \[ P_{mult}(k_1, k_2, ..., k_r) = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_r!} \] 这种形式通常被用来描述含有重复元素的情况下的排列问题[^3]。 #### 四、编程实现中的排列组合 在实际开发过程中,尤其是像 C++ 这样的语言里,可以通过编写函数来模拟并计算排列组合的结果。例如下面给出的是基于以上理论的一个简单例子: ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long factorial(int num){ if(num == 0 || num == 1)return 1; return num * factorial(num - 1); } int combination(int n,int r){ return factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n-r)); } int main(){ int n=5,r=2; cout << "Combination of "<<n<<" choose "<<r<<": "<<combination(n,r)<<endl; return 0; } ``` 此程序展示了如何通过递归方法求解阶乘以及最终得出组合数值的过程[^4]。
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