poj 1173 具有重复的组合和容斥原理

最新推荐文章于 2019-07-04 10:50:00 发布

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#input #zk #c

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本文深入分析了ACM竞赛中关于BC(n,k,m)问题的解法，通过组合数学与容斥原理，揭示了解题背后的数学原理。详细介绍了BC(n,k,m)的定义、计算方法及排序问题的解决策略，并提供了相应的代码实现，旨在帮助参赛者更深入理解并高效解决此类问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

计算BC(n,k,m)，就是X1+X2+...+Xk=n，其中1<=Xi<=m,有多少个解？这些解顺序排列，输入一个排列，计算它是第几个？

详见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1173。

如BC(7,4,2)，有16个解

0: 1000100 | 8: 1100100
1: 1000110 | 9: 1100110
2: 1001000 | 10: 1101000
3: 1001100 | 11: 1101100
4: 1001110 | 12: 1101110
5: 1011000 | 13: 1110010
6: 1011100 | 14: 1110100
7: 1100010 | 15: 1110110

然后输入

输出

题目分析

IOI的题，做的我好爽呀。很多解题报告用观察的方法，我是通过组合数学分析的，也算是另一个思路吧。而且我相信从数学原理分析问题，
分析的更透彻，对本质把握的更好一些。
首先具有重复的组合数。若从k种物品中选出n个物品，其中每种物品可以原则无限多个，成为具有重复的组合数,
这个组合数等于C(n+k-1,k-1).
这个题等价于简单的数学表达是X1+X2+...+Xk=n，其中Xi>=0,有多少个解.
证明：把n个物品排成一排，用k-1个栏杆对它们进行划分，如下图所示
。。。|。。。|。。。
。||。。。。。。。。
这里n=9，k=3，第一个划分对应3+3+3=9；第二个划分对应1+0+8=9.划分和解是一一对应。
划分有C(n+k-1,k-1)种，所以解有C(n+k-1,k-1)种。
其次，容斥原理。集合A1不具有性质P1，集合A2不具有性质P2，...，那么不具有性质P1和P2...的集合中的元素的个数满足...
原谅我懒得把这个公式打出来，如果你想知道，网上随便就搜出来了。
那么回到本题，X1+X2+...+Xk=n，其中1<=Xi<=m的解的个数怎么计算呢？       (1)
首先用Xi=Yi+1代替上式，得到Y1+Y2+...+Yk=n-k，其中0<=Yi<=m-1.
现在考虑式子Z1+Z2+...+Zk=n-k，其中Z0>=m;Zi>=0 (i!=1)                             (2)
用A1表示解中不具有0<=Z1<=m-1的性质，但是其它解可以任取非负值，那么就是(2)的解。
要解(2)式，用Z1=W1+m代替，则W1可取任意值，这转化为可以求解的问题。
(2)式可以计算了，根据容斥原理就可以解(1)式。
至于排序的问题，观察观察就出来了，详情就看代码吧。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <float.h>
using namespace std;

#define M 104

typedef unsigned __int64 UINT64;

int num;
int g_n,g_k,g_m;
int input[M][36];

int g_number[36];
int g_divider[36];
UINT64 Combination(int n, int k)
{	// still work when n==k, reurn 1
	k = min(k, n-k);
	
	for (int i=0; i<=k; i++)
	{
		g_number[i] = n-i;
		g_divider[i] = i;
	}
	for (int i=2; i<=k; i++)
	{
		for (int j=0; j<k; j++)
		{
			if (g_number[j]%i==0) {
				g_number[j] /= i;
				g_divider[i] = 1;
				break;
			}
		}
	}

	UINT64 nRes=1;
	for (int i=0; i<k; i++) {
		nRes *= g_number[i];
	}
	for (int i=2; i<=k; i++) {
		nRes /= g_divider[i];
	}

	return nRes;
}

int Func(int n, int k, int m)
{
	n = n-k;		// Xi = Yi+1 

	UINT64 nRes = Combination(n+k-1, k-1);

	int nSign = -1;
	int nTmp;
	for (int i=1; i<=k; i++)
	{
		nTmp = n-i*m;
		if (n-i*m<0)
			break;

		nRes += nSign*Combination(k, i)*Combination(nTmp+k-1, k-1);
		nSign *= -1;
	}

	return (int)nRes;
}

int GetMinOnes(int nHandled, int kLeft)
{
	return max(g_n-nHandled-(kLeft)*g_m, 1);
}

int GetMaxZeros(int nHandled, int kLeft)
{
	return min(g_n-nHandled-(kLeft), g_m);
}

int GetSequence(int nth)
{
	int nLen;
	int idx=0;
	int nRes=0;
	int nHandled = 0;
	int i;
	for (i=1; i<=g_k-2; i++)
	{
		// odd
		if (i%2 == 1) {
			nLen = 0;
			while (input[nth][idx++]!=0)
				nLen++;
			idx--;
			for (int j=GetMinOnes(nHandled, g_k-i); j<=nLen-1; j++)
			{
				nRes += Func(g_n-nHandled-j, g_k-i, g_m);
			}
			nHandled += nLen;
		}
		// even
		else {
			nLen = 0;
			while (input[nth][idx++]!=1)
				nLen++;
			idx--;
			for (int j=GetMaxZeros(nHandled, g_k-i); j>nLen; j--)
			{
				nRes += Func(g_n-nHandled-j, g_k-i, g_m);
			}
			nHandled += nLen;
		}
	}

	// odd
	if (i%2 == 1) {
		nLen = 0;
		while (input[nth][idx++]!=0)
			nLen++;
		nRes += nLen - GetMinOnes(nHandled, g_k-i) + 1;
	}
	// even
	else {
		nLen = 0;
		while (input[nth][idx++]!=1)
			nLen++;
		nRes += GetMaxZeros(nHandled, g_k-i) - nLen + 1;
	}
	return nRes-1;
}


int main()
{
   // freopen("ReadMe.txt", "r", stdin);


	scanf("%d %d %d", &g_n, &g_k, &g_m);
	scanf("%d", &num);
	char buf[36];

	for (int i=0; i<num; i++)
	{
		scanf("%s", buf);
		for (int j=0; j<g_n; j++){
			input[i][j] = buf[j]-'0';
		}
	}

	printf("%d/n", Func(g_n,g_k,g_m) );

	for (int i=0; i<num; i++)
	{
		printf("%d/n", GetSequence(i) );
	}

    return 0;
}