自动编码器（VAE）的一些数学理解

Auto-Encoding Variational Bayes

Auto-Encoding Variational Bayes论文原文

再谈变分自编码器VAE：从贝叶斯观点出发

Understanding Variational Autoencoders (VAEs)

Variational Inference（传统算法总结的比较全面）

1 预备知识

1.1 KL散度及变分

相对熵（relative entropy）就是KL散度（Kullback–Leibler divergence）。用于衡量两个概率分布$p(x)$ 和 $q(x)$ 之间的差异，定义为：

$$KL(p(x)||q(x))=\int p(x)\ln \frac{p(x)}{q(x)}dx={\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[\ln \frac{p(x)}{q(x)}\right]$$

(1) 度量分布的近似度距离

KL 散度的主要性质是非负性:

如果固定 $p(x)$，那么 $KL(p(x)||q(x))=0\leftrightarrow p(x)=q(x)$;

如果固定 $q(x)$，同样 $KL(p(x)||q(x))=0\leftrightarrow p(x)=q(x)$;

也就是不管固定哪一个，最小化 KL 散度的结果都是两者尽可能相等。

(2) 正定性

Gibbis Inequality：

$$KL(p(x)||q(x))\ne KL(q(x)||p(x))\le 0$$ 当且仅当p=q时取等号。

(3) 非对称性

由于 $p(x)$ 和 $q(x) 在公式中的地位不是相等的，因此:

$$KL(p(x)||q(x))\ne KL(q(x)||p(x))$$

(4) 奇异性

KL 散度存在’‘奇异状态’’，就是当 $q(x)$ 在某个区域等于 0，而 $p(x)$ 在该区域不等于 0，那么 KL 散度就出现无穷大。

若$p(x)$是真实分布，$q(x)$是拟合分布，则拟合分布趋于覆盖理论分布的所有范围（zero avoiding）；

若$q(x)$是真实分布，$p(x)$是拟合分布，则拟合分布的0值不影响KL散度的积分（zero forcing）。

2 基本模型

2.1 基本问题

如果我们有一组观测数据$D$，如何推断产生这些数据的模型$m$ （得到观测数据$D$的分布）?

2.2 基本假设

设所有$n$维概率分布函数构成的空间为${\mathcal{P}}_n$。给定正整数$d$，$n$维数据集 X = { x ( i ) } i = 1 N X=\{ x^{(i)} \}_{i=1}^N X={ x(i)}i=1N​ 是通过如下两步生成的：

（i）通过某个先验分布 $p^{\ast }(z)\in {\mathcal{P}}_d$ 生成$d$维隐状态$z^{(i)}$；

（ii）通过某个条件概率 $q_z^{\ast }(x)\in {\mathcal{P}}_n$ 生成$n$维数据$x^{(i)}$。(为了与函数族的写法相仿，这里条件分布用下标表示。)

注：这里的隐状态可以是连续性随机变量（如预测身高时将年龄作为隐状态），也可以是离散型随机变量（如预测身高时将性别作为隐状态）。

当先验分布与条件分布给定时，后验分布也已经确定（可以用Bayes公式算出）：

$$p_x^{\ast }(z)=\frac{q_z^{\ast }(x)p^{\ast }(z)}{q^{\ast }(x)}=\frac{q_z^{\ast }(x)p^{\ast }(z)}{\int q_z^{\ast }(x)p^{\ast }(z)dz}$$

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