用贪心法解决图的着色问题

1、 设计题目

用贪心法解决图的着色问题          

2 、问题描述

   如图所示的交叉路口，有5条通路A，B，C，D，E，其中路C和E是单行路，因而共有13个“拐弯”。有些“拐弯”如AB(从A到B)和EC，可以同时通行，而在AD和EB上行驶的车辆就不能同时通过交叉路口．因此，在分组时，AB和EC应该在同一组。但AD和EB不在同一组。

              

    一个具有多条通路的交叉路口，当允许某些通路上的车辆在交叉路口“拐弯”时，必须对其他一些通路上的车辆加以限制，不许同时在交叉路口“拐弯”，以免发生碰撞。所有这些可能的“拐弯”组成一个集合。现在的问题是要把这个集合分成数量尽可能少的组，使得每组中所有的“拐弯”都能同时进行而不会发生车辆碰撞。这样，每个组对应二个指挥灯，因而实现了用尽可能少的指挥灯完成交叉路口的安全管理。

3、算法设计的思想

1、解决图的着色的一般方法

    解决着色问题可以有三种不同的方法。第一种方法是穷举法。按这种方法找出的颜色数目一定是最少的，但是，当图中顶点的数目量很大时，这种方法要消耗大量的计算机时间，因而它不是一个有效的方法。第二种方法是利用提供的与问题有关的附加信息(因而图应该具有某种特殊性质)，寻找最有可能成功的颜色数目，只需试探几次就可以解决问题。第三种方法是将问题的提法削弱一些，找到一有效的但不是最优的方法，用这种方法得到的颜色数目不一定是最少的。这是在实际问题求解中经常使用的一种方法。

“贪心”算法就是这样一种算法。“贪心”算法的思想是首先  用第一种颜色对图中尽可能多的顶点着色(“尽可能多”表现出“贪心”)；然后用第二种颜色对余下的顶点中尽可能多的顶点着色；如此等等，直到把所有的顶点都着完色。当用一种新颜色对余下的顶点着色时，我们采取下列步骤：

(1)选取某个未着色的顶点，并且用新颜色对它着色。

(2)扫描所有未着色的顶点集，对其中的每个顶点，确定它是否与已着新颜色的任何顶点相邻。若不相邻，则用新颜色对它着色。

2、贪心算法的基本思想

从某一个给定的集合中选出一个子集，满足题目所给的要求，这个子集就是一个可行解。可行解不一定是唯一解。贪心法把可行的工作分阶段来完成。在各个阶段，选择在某些意义下世局部最优解的方案，希望从各个阶段的局部最优选择，能够得到整体最优。但是，贪心法不是每次都能产生整体最优解。贪心法在每个阶段都保持局部最优，而各个阶段结果合起来，总的结果可能不是最优.

贪心算法常用来求“最优解”这类问题的。最优解问题可描述为：有n个输入，它的解是由这n 个输入的某个子集组成，并且这个子集必须满足事先给定的条件。这个条件称为约束条件。而把满足约束条件的子集称为该问题的可行解。这些可行解可能有多个。为了衡量可行解的优劣，事先给了一个关于可行解的函数，称为目标函数。目标函数最大（或最小）的可行解，称为最优解。

a) 求“最优解”最原始的方法为搜索枚举方案法（一般为回溯法）。

b) 贪心算法则不同，它不是建立在枚举方案的基础上的。它从前向后，根据当前情况，“贪心地”决定出下一步，从而一步一步直接走下去，最终得到解。

c) 贪心算法是一种比动态规划更高效的算法。只是要保证得到最优解是贪心算法的关键。

4、算法设计分析

贪心算法：该算法给出的是近似解。

while  有结点未着色；

   {  选择一种新颜色；

      在未着色的结点中,给尽可能多的彼此结点之间没有边点着色；

    }

把上面方法应用于图1.2，得到下面的分组： 

   绿色：AB,  AC,  AD,  BA,  DC,  ED

   蓝色：BC,  BD,  EA

   红色：DA,  DB

   黄色：EB,  EC

 假设需要着色的图是G，集合V1包括图中所有未被着色的结点，着色开始时V1是G所有结点集合。NEW表示已确定可以用新颜色着色的结点集合。

从V1中找出可用新颜色着色的结点集的程序框架描述为：

   NEW={ };

　 for   每个v Î V1 do

　　 if  v与NEW中所有结点间都没有边

　　　 {  从V1中去掉v ; 

          NEW=NEWÈ{v} ;

        }

用C语言描述的“贪心”算法如下：

void greedy(G，newelr)(动画)

GRAPH G；

SET newelr；//类型GRAPH和SET有待具体说明//

 //本程序把G中可以着同一色的顶点放入newclr*//

{ (1)    newelr=φ；／/φ表示空集/／

  (2)    while(G中有未着色的顶点v)

  (3)    if(v不与newelr中的任何顶点相邻){

  (4)    对v着色；

  (5)    将v放人newclr；

         }

其中，G是被着色的图，newelr的初值为空，算法执行的结果形成可以着相同颜色的顶点的集合newclr。只要重复调用greedy算法，直到图中的所有顶点都被着色为止，即可求出问题的解。

    第一步求精：

    现对上述greedy算法中的语句(3)(条件语句)进一步求精：我们使用一个布尔量found，初值为false：对newclr中的每个顶点w，测v与w是否相邻，若相邻，则令found为true。因而得到下列结果：

    void greedy(G，newclr)

    GRAPH GSET newclr     ／/类型GRAPH和SET有待具体说明/／

    {    

        int found;

  (1)    newclr=φ

  (2)     while(G中有来着色的顶点v){

(3．1)  found=0／/found的初值为false/／   

(3．2)  for(newclr中的每个顶点w)

(3．3)  if(v与w相邻)   

(3．4)  found=1；

(3．5)  if(found==0){    ／/v与newclr中的任何顶点都不相邻/／

(4)                   对v着色；

(5)                   将v放人newclr

                     }

                }

 }

  第二步求精：

  用C中的控制语句对第一步求精的结果作更加精细的描述，具体如下：

    void greedy(G，newclr)

    GRAPH G；SET newclr；    ／/类型-GRAPH和SET有待具体说明/／

    { int found;

      newclr＝φ；

      v=G中第一个未着色的顶点；   

      while(v!＝0){  ／/G中还有未着色的顶点v/／

      found=0；

      w=newclr中的第一个顶点;

       while(w!=0){／/newclr中的顶点还没取尽。／

 证(v与w相邻)

      found=1

       w=newclr中的下个顶点

                  }

       if(found==0){

       对v着色，

       将v放人newclr;

       v＝G中下一个未着色的顶点；

                   }   

第三步求精：

    由上一步求精的结果可见，算法中的大部分操作都归结为对图和集合的操作。设G和S分别是抽象数据型GRAPH和SET的实例，我们在G上规定如下操作：

    (1)FIRSTG(G)返回G中的第一个未加标记(未着色)的元素’；若G中没有这样的元素存在，则返回NULL。  

    (2)EDGE(V，w，G)若V和w在G中相邻，则返回true，否则返回false。

    (3)MARK(v，G)标记G中的元素v。   

    (4)ADDG(v，G)将元素v放人G中。

    (5)NEXTG(G)返回G中下一个未标记的元素，若G中没有这样的元素存在，则返回NULL。

    在S上规定如下操作：

    (1)MAKENULL(S)将集合S置空。

    (2)FIRSTS(S)返回S中的第一个元素；若S为空集，则返回NULL。

    (3)NEXTS(S)返回S中的下一个元素，若S中没有下一个元素，则返回NUlL。

    (4)ADDS(v，S)将v放人S中。

利用这些操作代替上述函数中的文字描述，即可得到如下更加形式化的函数：     vold greedy(G，rlewclr) 

 GRAPH G'SET newclr：／/类型GRAPH和SET有待说明/／

    {   

       int found，

       elementtypev，w；／/'elementtype可以自定义/／

       MAKENULL(newtlr)；   

       V=FIRSTG(G)；

       while(v!=NULL){

       found＝0；

       w=FIRSTS(newclr)；

       while(w!＝NULL){

       订(EDGE(v，w，G))

       found；1；

       w＝NEXTS(newclr)；

       }

      订(found＝=0){

       MARK(v，G)：

       ADDS(v，newclr)，

       }

       v=NEXTG(G);

      }

  }   

    按上述函数，最后一步工作就是给出类型Elementtype的定义和实现抽象数据型GRAPHSET。此后，上述函数就是可执行的程序了。

5、算法设计的流程图

是

设置初始化的方案 (将图中第一个没有着色的付给v)

当G图中没有被着色的点非零

令Found＝0，判断newelr中的每一个点是否与v相邻

图中所有的点都已被着色，结束程序

对v点着色，然后将v放入newelr中

否

否

6、源代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <conio.h>
#include <graphics.h>
#define S 50
int proved;
int menu(void);
int input(int Matrix[S][S]);
FILE *LoadSaveMenu(char *wr)  ;
void save(int Matrix[S][S],int s);
int load(int Matrix[S][S]);
int prove(int Matrix[S][S],int Dis[],int s);
void print(int Dis[],int s);
void Exit();

/*创建二维数组Matrix[][]表示关联矩阵，一维数组Dis[]表示国家颜色，以switch调用各个函数进行证明和操作*/
void main()
{
  int Matrix[S][S];        /*  存放关联矩阵  */
  int Dis[S];              /*  存放每个国家对应的颜色 */
  int s;                   /*  区域数目  */
  int c;
  FILE *fp;
  int gdriver=DETECT,gmode;
  initgraph(&gdriver,&gmode," ");
  clrscr();cleardevice();
  while(1)
  {
  clrscr();cleardevice();
  c=menu();
  clrscr();cleardevice();
  switch(c)
  {
   case 1: s=input(Matrix);
      break;
   case 2: save(Matrix,s);
      break;
   case 3: s=load(Matrix);
      break;
   case 4: proved=prove(Matrix,Dis,s);
      break;
   case 5: print(Dis,s);
      break;
   case 6: Exit();
      break;
   default: break;
  }
  printf("/n/tPress any key to main menu.....");
  getch();
 }
}
/*图形主菜单，按上下键选择功能，返回所选项给main */
int menu(void)
{
  int gdriver=DETECT,gmode;
  char *name[]={"Input relatived districts","Save the record","Load the record","Try to prove","Print the provement","Exit to DOS"};
  int i,c=' ',a=0;
  clrscr();cleardevice();
  initgraph(&gdriver,&gmode," ");
  setbkcolor(0);
  settextstyle(1,0,5);
  setcolor(14);
  outtextxy(200,60,"Menu");
  settextstyle(3,0,3);
  while(1)
   {
     for(i=0;i<6;i++)
     {
      if(i==a)
 { setcolor(5);
   outtextxy(150,30*(i+4),name[i]);
   i++;
   setcolor(15);
 }
      if(i>5)     break;
      outtextxy(150,30*(i+4),name[i]);
     }
     c=getch();
     switch(c)
     {
      case 72: a--; break;
      case 80: a++; break;
      default: break;
     }
   if(a<0) a++;
   if(a>5) a--;
   if(a==0&&c==13)break;
   if(a==1&&c==13)break;
   if(a==2&&c==13)break;
   if(a==3&&c==13)break;
   if(a==4&&c==13)break;
   if(a==5&&c==13)break;
  }
  return(a+1);
}
/*输入函数, 要求定义区域的数目，输入相关联的每两个区域，返回区域数目*/
int input(int Matrix[S][S])
{
  int i,j,s;
  printf("/n/tPlease input how much district you want: ");

  /*  定义区域的数目  */
  scanf("%d",&s);
  s++;
  for(i=1;i<s;i++)
    for(j=1;j<s;j++)
      {
 if(i!=j)  Matrix[i][j]=0;
 if(i==j)   Matrix[i][j]=1;
      }

 do{ clrscr();cleardevice();
     printf("/n/tdistrict:      ");     /*  输入相关联的两个区域  */
       scanf("%d",&i);
     printf("/tand district : ");
       scanf("%d",&j);
     Matrix[j][i]=Matrix[i][j]=1;
     printf("/tEnter 'q' to out ,others to continue....../n");
     }while(getch()!='q');
proved=0;        /*  没证明前proved为0 */
return(s);
}
/*按 save 或 load 传来的 wb 或rb 对所选文件进行读或写操作，返回文件指针fp */
FILE *LoadSaveMenu(char *wr)
{
  FILE * fp;
  char c,solas[25];
  printf("/n/tPlease input the recordlist you wantto select:");  

         /*  选择读取或存入的文件  */
  printf("/n/t[1]China map  [2]World map [3]save/load as :");
  c=getch(); printf("%c/n",c);
  switch(c)
  {
  case '1' : fp=fopen("China.txt",wr);
      break;
  case '2' : fp=fopen("World.txt",wr);
      break;
  case '3' : printf("/n/tPlease input your file name: ");
      scanf("%s",solas);
      fp=fopen(solas,wr);
      break;
  default  : break;
  }
  return fp;
}
/*把现在的Matrix矩阵存入到Loadsavemenu返回的fp指向的文件中*/
void save(int Matrix[S][S],int s)
{
  int i,j;
  FILE * fp;
  fp=LoadSaveMenu("wb");
  fputc(s,fp);      /*  存入区域个数  */
  for(i=1;i<s;i++)
    for(j=1;j<s;j++)
      fwrite(&Matrix[i][j],sizeof(int),1,fp);  /*  存入矩阵  */
  fclose(fp);
}
/*在Loadsavemenu 返回的fp中读出已记录的矩阵*/
int load(int Matrix[S][S])
{
  int i,j,s;
  FILE * fp;
  fp=LoadSaveMenu("rb");
  clrscr();cleardevice();
  printf("/n/tThe matrix is as follow:/n");
  s=fgetc(fp);
  for(i=1;i<s;i++)
   {
    if(i%17==0) {printf("/n/n/tPress any key to continue.."); getch(); clrscr();cleardevice();}
    printf("/n/t/t");
    for(j=1;j<s;j++)
    {
    fread(&Matrix[i][j],sizeof(int),1,fp);
    printf("%d",Matrix[i][j]);
    }
   }
  fclose(fp);
  proved=0;
  return(s);
}
int prove(int Matrix[S][S],int Dis[],int s)  
{
  int i,j,k;
  int Color[5]; /* 用于判断第1，2，3，4种颜色是否用过  */
  Dis[1]=1;    /*  第一个区域即Dis[1]填上1号颜色  */
  i=2;       /*  i表示区域序号，i=2即第二个区域  */

  while(i<s)
  {
    k=1;    /*  k表示颜色序号，k=1为第一号颜色  */
    while(1)
   {
    for(j=1;j<=4;j++) Color[j]=0;    /*  储存颜色的数组Color清0  */
    j=1;
    while(j<=i-1)
    {  if(Matrix[i][j]==1) Color[Dis[j]]=-1;   /*判断Matrix[i][j]是否关联，关联则登记这号颜色用过  */
       j++;}
    while(k<=4)
    { if(Color[k]==0) goto loop;
       k++;}        /*  判断k号颜色是否用过  */
    i=i-1;          /*  若颜色已用尽，则退回到前一个区域改变颜色  */
    k=Dis[i]+1;     /*  退到前一个区域，使其当前颜色号加1  */
   }

  loop:Dis[i]=k;    /*  把第k种颜色给第i个区域  */
 i=i++;
 }
  printf("/n/tThe matrix have proved successfully !!!");
  proved=1;
  printf("%d",proved);
}
/*由全局变量proved决定是否已经通过证明，当且仅当证明后才可打印出来*/
void print(int Dis[],int s)
{
  int i,j;
  if(proved==1)
  {
   printf("/n/tThe color schemes is:/n");
    for(i=1;i<s;i++)
     {if(i%17==0) {getch();clrscr();cleardevice();}
    printf("/n/tdestrict %-2d draw ",i);
    switch(Dis[i])
    {
     case 1: printf("orange");        /*  设1号颜色对应橙色，类推  */
     break;
     case 2: printf("pink");
     break;
     case 3: printf("blue");
     break;
     case 4: printf("yellow");
     break;
    }
  }
}
  else
  {
    printf("/n/tThis matrixhaven'tproved, Gotoprove frist !!!");
    return;
  }
}
/*安全退出本程序*/
void Exit()
{
   char c;
   printf("/n/tDo you  really want to return to DOS?(y/n)");
   c=getch();
   if(c=='y'||c=='Y') exit(0);
else return;
}  

 

 

 

 

 

7 、运行结果与分析

8、收获及体会

    通过这次作业，我对贪心法有了初步的了解，贪心法是一种依据题意，选取一种度量标准的顺序，以尽可能快地求得满意解的方法。它省去了为查找最优解而去穷尽所有可能而耗费的大量时间。并不是所有的问题都可以用贪心法解决，只有那些选择具有无后效性，即不依赖与以后将要作出的选择的问题才能有贪心法。另外，图的着色也是一个非常重要的问题，将它运用到路口指示等上面，就可以使用最少的不同颜色的灯指挥交通。总之，贪心法是一个非常快捷的算法，能节约大量的时间。