最字头之一：最长公共子序列_最长公共序列java 向左向右-优快云博客

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动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

recursive formula

回溯输出最长公共子序列过程：

flow

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100
void LCSLength(char* x,char* y,int m,int n,int c[][MAXLEN],int b[][MAXLEN]){
  int i,j;
  for(i = 0; i <= m; i++)
  c[i][0] = 0;
  for(j = 1;j <= n; j++)
  c[0][j] = 0;
  for(i = 1; i <= m; i++){
     for(j = 1; j <= n; j++){
	    if(x[i-1] == y[j-1]){
		   c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
		   b[i][j] = 0;
		}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
		   c[i][j] = c[i-1][j];
		   b[i][j] = 1;
		}else{
		   c[i][j] = c[i][j-1];
		   b[i][j] = -1;
		}
	 }
  }
}
void PrintLCS(int b[][MAXLEN],char* x,int i,int j){
    if(i == 0||j == 0)
	return;
	if(b[i][j] == 0){
	  PrintLCS(b,x,i-1,j-1);
	  printf("%c ",x[i-1]);
	}else if(b[i][j] == 1)
	PrintLCS(b,x,i-1,j);
	else
	PrintLCS(b,x,i,j-1);
}
int main(int argc,char ** argv){
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
	char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
	int b[MAXLEN][MAXLEN];
	int c[MAXLEN][MAXLEN];
	int m,n;
	m = strlen(x);
	n = strlen(y);
	LCSLength(x,y,m,n,c,b);
	PrintLCS(b,x,m,n);
	return 0;
}

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
void print(int b[][100],string x,string y,int m,int n){
    if(m == 0|| n==0)
		return;
	if(b[m][n] == 0){
	   print(b,x,y,m-1,n-1);
	   cout << x[m-1] << " ";
	}else if(b[m][n] == 1)
		print(b,x,y,m-1,n);
	else
		print(b,x,y,m,n-1);
}
int main(){
   int array1[100][100];
   int array2[100][100];
   string str1,str2;
   cin >> str1 >> str2;
   int m = str1.size();
   int n = str2.size();
   for(int i = 0; i <= m; i ++)//注意等号。因为表格是比最大下标还要多一的
	                           //下标为0时为避免出现-1则加一处理所以长度等于size()
      for(int j = 0; j <= n; j++)
		  array1[i][j] = 0;
   for(int i = 1; i <= m; i++){
	   for(int j = 1; j <= n; j++){
		   if(str1[i-1] == str2[j-1]){
		      array1[i][j] = array1[i-1][j-1] + 1;
			  array2[i][j] = 0;
		   }else if(array1[i-1][j] >= array1[i][j-1]){
		      array1[i][j] = array1[i-1][j];
			  array2[i][j] = 1;
		   }else{
		      array1[i][j] = array1[i][j-1];
			  array2[i][j] = -1;
		   }
	   }
   }
   print(array2,str1,str2,str1.size(),str2.size());
   return 0;
}

上面是我自己为了复习重新写了一个C++版本的。

思考的两个问题：

为什么从左上角向右下角计算

为什么从右下角开始选择输出（其实是从左上角开始输出，但是从右下角开始判断）