关于约瑟夫问题

本文分享了一个简单的数组游戏算法实现过程,通过循环删除指定位置的元素直至数组中只剩一人。该算法采用基本的Java编程语言进行编写,并展示了完整的代码实现。

在网上看到一个这个的题,就随便写了一个.

 

如果大家有什么更的的算法.希望能给出代码交流下.

public class TestArrayGame {
	
	public static final int MAX_LENGTH = 500;
	
	public static void main(String []args) {
		int []person = new int[MAX_LENGTH];
		
		for(int i=0 ; i<person.length ; i++) {
			person[i] = i+1;
		}
		
		int i = 0;
		int time = 0;
		int inNum = person.length;
		
		while(inNum != 1) {
			if(person[i%MAX_LENGTH] != 0) {
				time ++;
				if(time == 3) {
					time = 0;
					person[i%MAX_LENGTH] = 0;
					inNum --;
				}
				i++;
			}	
			else {
				i++;
			}	
		}
		
		for(int k=0 ;k<person.length ;k++) {
			if(person[k] != 0){
				System.out.println("最后留下的人:"+ (++k));
			}
		}
	}
}

 .

 

 

### 约瑟夫问题的数学公式及其推导 约瑟夫问题的核心在于通过递推公式来解决环形淘汰问题。以下是关于该问题的数学公式的详细说明以及如何利用这些公式进行计算。 #### 数学公式 对于推广的约瑟夫问题,存在如下递推公式[^3]: - **基础条件**: \( F(1) = 0 \) - **递推关系**: \[ F(N) = [F(N-1) + M] \% N, \quad (N > 1) \] 其中: - \( N \): 表示当前剩余的人数; - \( M \): 表示每次报数的步长; - \( F(N) \): 表示在有 \( N \) 个人的情况下,最终幸存者的编号(基于零索引)。 此公式可以通过逐步减少人数的方式将原问题简化为更小规模的问题,直到只剩一个人为止。 #### 时间复杂度分析 采用上述递推公式解决问题的时间复杂度显著优于暴力模拟的方法。暴力方法通常依赖于循环链表或其他数据结构逐一移除元素,其时间复杂度为 \( O(nm) \)[^4]。而使用递推公式,则只需执行一次遍历操作即可得到结果,因此时间复杂度降为 \( O(n) \),极大地提高了效率。 #### 正确性验证 为了确保递推公式的准确性,可以将其应用于一些简单的测试案例并对比预期的结果。例如,在给定参数 \( n=10 \), \( m=2 \) 的情况下,按照定义手动构建整个过程并与由递推公式得出的答案相匹配,以此确认算法的有效性和精确程度[^2]。 ```python def josephus_problem(n, m): f = 0 for i in range(2, n + 1): f = (f + m) % i return f # Example usage: result = josephus_problem(10, 2) print(result) # Output should be the survivor's index based on zero indexing. ``` 以上代码片段展示了如何依据前述递推关系快速求解特定实例下的约瑟夫问题解答。
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