线分割面、面分割空间问题

1.直线分割平面

问题：给出n(n>0)条直线，其最多可把平面分成几部分？

分析：当两两直线间交点最多是，得到的平面部分就越多。1条直线得到两部分，2条直线得到4部分，3条直线两两交

于不同点得到7部分，...，n条直线两两交于不同点得到平面部分最多，假设为part(n)，则part(n)=part(n-1)+n，(n>1)。

因为当第n条直线与前面n-1条直线相交时候，最多增加n-1个交点，与其对应的是n-2条线段和两条射线，每条线段（或

射线）都会将其所在区域分成两部分，分别在其两侧，因此平面部分相对原来的增加了n个。

我们知道：

part(1)=2，

part(2)=4=2+2，

part(3)=7=2+2+3，

......，

part(n)=2+2+3+4+......+n=1+n*(n+1)/2，n>1。

证明：

part(n)

=part(n-1)+n

=part(n-2)+(n-1)+n

=part(n-3)+(n-1)+n

=......

=part(1)+2+3+4+...+(n-1)+n

=n*(n+1)/2+1，n>1。

故part(n)=n*(n+1)/2+1，n>0。

2.折线分割平面

有前面1可知，当增加第n条折线时，最多增加2*[2*(n-1)]即4*(n-1)个交点，则增加了2*[2*(n-1)-1]即条线段，2条射线，

及一条折线段，它们分别将所在区域分为2部分。故增加平面区域个数为2*[2*(n-1)-1]+2+1=4*n-3。