直线分割平面、折线分割平面、封闭曲线分割平面、平面分割空间问题

(1) n条直线最多分平面问题

当有n-1条直线时，平面最多被分成了f(n - 1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线段。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n - 2)个区域。

f(n) = f(n -1) + n

f(n - 1) = f(n - 2) + n - 1

f(n - 2) = f(n - 3) + n - 2

……

f(2) = f(1) + 2

对上式累加

f(n) = f(1) + n*(n + 1)/2 - 1

=2 + n*(n + 1)/2 - 1

= 在这里插入图片描述

(2) 折线分平面（hdu2050）
根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。即新增多少线段就新增多少空间——(该句话很重要)。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

f(n) = f(n - 1) + 4*(n - 1) + 1

f(n - 1) = f(n - 2) + 4*(n - 2) + 1

f(n - 2) = f(n - 3) + 4*(n - 3) + 1

……

f(2) = f(1) + 4*1 + 1
对上式累加

f(n) = f(1) + 4*(1 + 2 + …… +n - 1) + n - 1
在这里插入图片描述

(3) 封闭曲线分平面问题
题目描述：
设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
分析：
当n-1个圆时，区域数为f(n-1)。那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，一个圆与另一个圆相交会产生2个交点，则会产生2(n - 1)个交点。由操作可知，2个交点可将一个圆分成2个线段。则第n个圆上有2(n - 1)个交点圆会被分为2(n - 1)段线段，增加了2(n - 1)个区域。

f(n) = f(n - 1) + 2(n - 1)
f(n - 1) = f(n - 2) + 2(n - 2)
f(n - 2) = f(n - 3) + 2(n - 3)
……
f(2) = f(1) + 2
对上式累加
在这里插入图片描述
(4)平面分割空间问题（hdu1290）
由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？
当有n-1个平面时，分割的空间数为f（n-1）。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g（n-1）个区域。
故：