0-1背包和完全背包

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### **背包问题全面总结**

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#### **一、基本类型**
1. **0-1背包**  
   - **特点**：每个物品只能选一次。  
   - **状态转移**：  
     - 二维形式：`dp[i+1][c] = max(dp[i][c], dp[i][c-w[i]] + v[i])`  
     - 一维优化：倒序遍历容量（避免覆盖上一轮结果）  
     ```python
     for i in range(n):
         for c in range(target, w[i]-1, -1):
             dp[c] = max(dp[c], dp[c-w[i]] + v[i])
     ```

2. **完全背包**  
   - **特点**：物品可无限次选。  
   - **状态转移**：  
     - 二维形式：`dp[i+1][c] = max(dp[i][c], dp[i+1][c-w[i]] + v[i])`  
     - 一维优化：正序遍历容量（允许重复选择）  
     ```python
     for i in range(n):
         for c in range(w[i], target+1):
             dp[c] = max(dp[c], dp[c-w[i]] + v[i])
     ```

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#### **二、常见变种问题**
1. **组合数问题**  
   - **目标**：计算达到背包容量的不同组合个数。  
   - **核心方程**：  
     - 完全背包：`dp[c] += dp[c - x]`  
     - 初始化：`dp[0] = 1`（空集为一种方案）  
   - **示例**：零钱兑换 II（LeetCode 518）  
     ```python
     dp = [0] * (amount+1)
     dp[0] = 1
     for x in coins:
         for c in range(x, amount+1):
             dp[c] += dp[c-x]
     ```

2. **最小物品数问题**  
   - **目标**：求达到容量的最少物品数。  
   - **核心方程**：  
     - `dp[c] = min(dp[c], dp[c-x] + 1)`  
     - 初始化：`dp[0] = 0`，其余为 `inf`  
   - **示例**：零钱兑换（LeetCode 322）  
     ```python
     dp = [inf] * (amount+1)
     dp[0] = 0
     for x in coins:
         for c in range(x, amount+1):
             dp[c] = min(dp[c], dp[c-x]+1)
     ```

3. **最大价值问题**  
   - **目标**：在容量限制下获取最大价值。  
   - **核心方程**：  
     - 0-1背包：`dp[c] = max(dp[c], dp[c-w] + v)`  
     - 初始化：`dp[0] = 0`，其余为 `-inf`（若要求恰好装满）  
   - **示例**：经典背包问题  
     ```python
     dp = [0] * (capacity+1)
     for w, v in items:
         for c in range(capacity, w-1, -1):
             dp[c] = max(dp[c], dp[c-w] + v)
     ```

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#### **三、关键技巧**
1. **空间优化**  
   - 0-1背包 → 倒序遍历容量（防止覆盖）  
   - 完全背包 → 正序遍历容量（允许重复选）  

2. **初始化**  
   - **组合数**：`dp[0] = 1`  
   - **最小物品数**：`dp[0] = 0`，其余为 `inf`  
   - **恰好装满**：`dp[0] = 0`，其余为 `-inf`（最大价值问题）  

3. **边界条件**  
   - 容量需满足 `c >= x` 才能选择物品。  
   - 注意题目是否允许“不装满”（如初始化全为 0）。  

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#### **四、常见问题解答**
1. **如何区分 0-1背包和完全背包？**  
   - 看物品是否可重复选。  
   - 遍历顺序：0-1背包倒序，完全背包正序。  

2. **如何处理恰好装满？**  
   - 初始化时，仅 `dp[0] = 0`（有效状态），其余为 `-inf`（无效状态）。  

3. **多维背包问题？**  
   - 扩展状态维度，如 `dp[c][k]` 表示容量为 `c`、已选 `k` 个物品时的最优解。  

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#### **五、代码模板速查**
| 问题类型               | 代码框架                                                                 |
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| **0-1背包（最大价值）** | 倒序遍历容量，状态转移取 `max(dp[c], dp[c-w]+v)`                        |
| **完全背包（组合数）**  | 正序遍历容量，状态转移为 `dp[c] += dp[c-x]`                             |
| **最小物品数**          | 正序/倒序取决于背包类型，状态转移取 `min(dp[c], dp[c-x]+1)`             |

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