监督学习之广义线性模型——Andrew Ng机器学习笔记（三）

内容提要

这篇博客的主要内容有
- 牛顿法
- 指数分布族（Exponential Family）
- 广义线性模型（Generalized Linear Models）
- Softmax Regression

牛顿法

首先我们先看一个简单的例子。
定义函数$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$，自变量为$\theta$。我们现在找一个$\theta$使得$f(\theta) = 0$。
牛顿法的思想就是利用一阶导数的定义，得到$\theta$的迭代关系。如下图示意：

根据导数的定义，我们就可以得到：

$$f^{'}(\theta^{(1)}) = f(\theta^{(1)})/\Delta \\\Delta = f(\theta^{(1)})/f^{'}(\theta^{(1)}) \\\theta^{(2)} = \theta^{(1)} - \Delta$$
从而我们就可以得到一般的迭代公式：
$$\theta^{(k+1)} = \theta^{(k)} - \Delta \\其中\Delta = f(\theta^{(k)})/f^{'}(\theta^{(k)})$$

回顾前面的对数似然函数，我们都是要求它的最大值，即就是要寻找一个参数$\theta$使得对数似然函数的导数为零，即$l^{'}(\theta) = 0$
- 当$\theta$为一维向量时，我们利用牛顿法的思想可以得到更新规则为：

$$\theta:= \theta - l^{'}(\theta)/l^{''}(\theta)$$
因为我们举得例子是对函数零阶导时为0，求参数。这里我们是函数一阶导数的情况，用同样的思想将式子中对应的量替换掉就可以了。
- 当$\theta$为一个大于一维的向量时，我们得到的迭代规则为：

其中$H$为Hessian矩阵：

你也可以参看最优化的教程，就会发现，牛顿法一般只需要一部迭代就可以得到最优解。但是牛顿法最大的问题就是Hessian矩阵的逆，并不是总可以得到，或者逆求逆的计算量非常大，最优化中有一章专门就是解决这个问题。解决的基本思路就是用一个矩阵$B$去近似Hessian矩阵。

指数分布族（Exponential Family）

族的概念在高等数学中就有。我们这里的指数分布族，和之前的所讲的族的概念是一样的。下来我们首先看看指数分布族的一般表达式：

其中
- $\eta$为自然参数（natural parameter or canonical parameter）
- $T(y)$为充分统计量（sufficient statistic），一般情况下，$T(y) = y$
- 当给定$a,b,T;\eta为参数$时就可以得到一个确定的分布

事实上我们之前说过的逻辑回归就是指数分布族的特例。还有伯努利分布$P(y=1;\phi) = 1$，正态分布都是指数分布族的特例。除此之外还有很多。

下面我们来说明为什么伯努利分布，高斯分布是指数分布族的特例。其实就是给出这些特例分布对应的$a,b,T$

伯努利分布

当$y\in{0,1}$时，可以如下的方式表达：

利用逻辑回归同样的思想，可以将表达式进行如下简写，同时向指数分布族的样子凑：

凑完之后，我们根据指数分布族的样子就可以在式子中找到$a,b,T$：

同时我们还可以得到$\eta 和 \phi$之间的关系：

这样我们就可以利用参数$\eta$来表示指数分布族中的$a,b,T$了，这就是上面式子中$a(\eta) = log(1+e^{\eta})$的原因，同时这也说明了伯努利分布是指数分布族的一个特例。下面我们来看高斯分布。

高斯分布

我们之前推导最小二乘回归的时候发现$\sigma^2$其实不重要，如下：

我们最终利用求目标函数极值的方法去求解参数$\theta$。这里可以看到与$\sigma$没有多大关系。所以我们可以令$\sigma^2 = 1$

利用和伯努利分布同样的思想，可以得到下面的式子：

再和指数分布族的通式进行比对，就会得到相应$a,b,T$：

多元高斯分布也是指数分布族的特例。同样泊松分布也是，指数分布就更不用说。

广义线性模型（Generalized Linear Models（GLM））

在这一部分我想说明如何利用指数分布族。首先我们先做如下的假设：
1. $y|x;\theta \sim ExpFamily(\eta)$，这个式子的理解是：在确定$x$输入并有特征$\theta$的情况下，$y$服从自然参数$\eta$的指数分布族。一般，$\eta$有$x 和 \theta$确定。
2. 给定$x$，估计函数定义为：$h(x) = E[T(y)|x;\theta]$，一般$T(y) = y$
3. $\eta = \theta^Tx$，如果$\eta$是向量则：$\eta_i = \theta^Tx$

在假设一中（$y|x;\theta \sim ExpFamily(\eta)$），先取一个特例：伯努利分布，它的参数为$\phi$,然后估计函数(响应函数)就可以写成：$h_\theta(x) = E(y|x;\theta) = P(y = 1|x:\theta) = \phi$，其中用到了伯努利分布的期望，它的期望就等于事件发生的概率，即参数$\phi$。我们上面有伯努利分布的指数分布的表达形式，可以知道$\phi = (1+e^{-\eta})^{-1}$，最终就可以得到$h_\theta(x) = (1+e^{-\theta^Tx})^{-1}$

术语介绍：
$g(\eta) = E[y|\eta] = (1+e^{-\eta})^{-1}$，这称之为：正则响应函数
$g(\eta)^{-1}$，称为：正则关联函数

另外一个特例：输入值$x \sim N(\mu,\sigma^2)$，我们让$\mu = \eta$,可以得到响应函数如下关系：

多项式分布

前面我们说过逻辑回归，其中讲的例子是一个二元分类，但是实际当中往往是多元分类问题。

那么$y\in\{0,1\}$就无法满足要求，下来我们就看一个$y\in\{1,2 ... k\}$的问题。
给定参数$\phi_1,\phi_2...\phi_k$,即$y$取某一个值时的概率。利用概率的基本知识就可以得到：

在这里$T(y) \neq y$而是$T(y) \in \mathbb R^{k-1}$，一般做如下定义：

指示器函数 $1\{true\} = 1;1\{false\} = 0$，利用指示器函数我们可以对$T(y)$进行简写：$(T(y)_i) = 1\{y = i\}$

其实对于每一个$y$的取值，就可以看成是一个伯努利分布。所以可以得到下面的表达：

同样的我们将$y$的分布向指数分布族靠近：

其中：

和前面的一样，$\eta和\phi$之间存在着函数关系：

就可以做如下推导：

就可以得到：

再根据（1）式就可以得到：

那么$y$的概率表达式就可以改写成：

Softmax Regression

根据上面的推导我们就可以介绍Softmax Regression了。对于一个分类问题，$y\in\{1,2...k\}$,当$\eta = \theta^Tx$时，响应函数为：

特别的$E[y = k|x;\theta] = P(y = k|x;\theta) = 1 - \sum_{i = 1}^{k-1}\phi_i$

如果我们的训练集大小为$m$：$\{(x^{(i)},y^{(i)});i = 1,2 ... m\}$，我们写出对应的对数似然函数：

上面的式子是Andrew Ng老师给的，我自己进行了下面的推导：

有似然函数的梯度之后，我们就可以利用梯度上升的方式去迭代$\theta$了。
可以看出Softmax Regression是对逻辑回归的推广，可以处理多元分类问题。Sortmax Regression就是一个广义线性模型的算法。我自己理解的，为什么这种算法会被列为广义线性模型的例子，原因是，对于每一个$\eta = \theta^Tx$这是线性的，但是整体而言又是伯努利分布。广义的原因就是在线性的外面套了一层，线性已经不是单纯的线性了。

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end