数据结构 之 树状数组

数据结构——树状数组
（一）定义：树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主    要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。 但相比较而言，树状数组效率要高很多，也更节约内存。

（二）主要用法：插线问点  +  插点问线。

（三）实战场：插点问线 —— 南阳理工116

                     插线问点 —— 南阳理工123

（四）插点问线：

  问题描述——假设有数组a[0..n]（0 <= n <= 1000000 ），我们多次需要求特定连续区间的和a[x] + a[x+1] + ····a[y] (0 =< x<=y<=n)， 测试样例组数（1<=m<=1000000）,数组元素小于100。

解放方案（一） ：从x 到 y 依次进行遍历，时间复杂度（  O(n) ）;

解决方案（二） ：利用树状数组进行查询求和操作，时间复杂度（  O(log(n)  ）

详解示意图：

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

              c[1] = a[1]

              c[2] = a[1] + a[2]

              c[3] = a[3]

              c[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]

              c[5] = a[5]

              c[6] = a[5] + a[6]

              c[7] = a[7]

              c[8] = a[1] + a[2] +a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8]

              故a[x] + a[x+1] +···a[y] = c[y] - c[x-1] ;

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

   

 int Judge (int x) {
      return (x&(x^(x-1)));
   }

利用机器补码特性，也可以写成：
 

  int Judge (int x) {
       retrun (x*(-x));
   }

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
详见代码：
 

int Sum(int x){  
    int sum = 0;  
    while(x > 0){  
        sum = sum + c[x];  
        x = x - Judge(x);  
    }  
    return sum;  
}
 

（五）插线问点——假设有数组a[0..n]（0 <= n <= 1000000 ），我们对特定连续区间每个数组元素进行同等增加或者减少操作（如对a[3]~a[6]增加X），然后对数组增加或者减少后的特定元素值进行查询。

解放方案（一） ：从x 到 y 依次进行遍历，时间复杂度（  O(n) ）;

解决方案（二） ：利用树状数组进行查询求和操作，时间复杂度（  O(log(n)  ）

                                      

                           c[1] = a[1]

                           c[2] = a[2]

                           c[3] = c[2] + a[3]

                           c[4] = a[4]

                           c[5] = c[4] + a[5]

                           c[6] = c[4] + c[6]

                           c[7] = c[4] + c[7]

                           c[8] = a[8]

详细代码：

void build(int x,int y,int z,int length) { 
    while(x<=length) { 
        tree[x]+=z; 
        x+=Judge(x); 
    } 
//对从 X 开始的节点进行增加操作，仅需对X后的同层最小节点增加或删减
    y+=1; 
    while(y<=length) { 
        tree[y] -= w; 
        y+=Judge(y); 
    } 
//对 Y + 1 后修改元素删减，因为合理修改区间是[X-Y],而之前操作进行了集体增加，\n
//所以还应对不应该增加或减少的元素还原
}
//如 ： 区间2-6 增加 10 ，使得  c[2] +10 && c[4] + 10; 如查询tree[3] = tree[3] + c[2];