超平面（Hyperplane）是什么？

参考：【漫话机器学习系列】253.超平面（Hyperplane）

​一句话解释超平面（Hyperplane）​​

​超平面就是高维空间中的“直线”或“平面”​。比如：

• 在2D空间（平面），超平面是一条直线​（如 y = ax + b）。
• 在3D空间，超平面是一个平面​（如 z = ax + by + c）。
• 在更高维度（如100维），超平面就是一个​“看不见的平面”​，数学上定义为所有满足 w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ + b = 0 的点的集合。

---

​通俗理解​

想象你是一个高维空间的切西瓜师傅​：

1. ​2D空间（平面）​​：用一刀切西瓜，切口是一条直线​（超平面=直线）。
2. ​3D空间​：用一刀切西瓜，切口是一个平面​（超平面=平面）。
3. ​100维空间​：用一刀切西瓜，切口是一个超平面​（人类无法直观想象，但数学存在）。

---

​为什么机器学习用超平面？​​

在分类问题中，​超平面是决策边界​，线性模型​（如SVM、逻辑回归）的决策边界就是超平面。

例如：用“工资”和“年龄”预测是否贷款违约，决策边界可能是：

0.5×工资 + 0.3×年龄 - 10 = 0（一条斜线）。

决策边界是机器学习模型在特征空间中画的一条“分界线”​，用于区分不同类别。比如：

• 判断“是否批准贷款”时，模型会根据“收入”和“信用分”画一条线：线的一边批贷款，另一边拒绝。
• 判断“猫 vs 狗”图片时，模型可能在像素空间画一个复杂边界，区分两种动物。

---

1. ​线性决策边界​

• ​形状​：直线（2D）、平面（3D）、超平面（高维）。
• ​对应模型​：逻辑回归、线性SVM、线性判别分析（LDA）。

2. ​非线性决策边界​

• ​形状​：曲线、环形、不规则形状。
• ​对应模型​：决策树、神经网络、带核函数的SVM。

---

​超平面 vs. 非线性边界​

	超平面（线性）	非线性边界
​例子​	一刀切西瓜	用勺子挖球形的西瓜肉
​模型​	逻辑回归、线性SVM	神经网络、带核函数的SVM
​特点​	简单、可解释	复杂、拟合能力强

---

​数学定义​

在n维空间中，超平面的方程是：

• w 是法向量（决定超平面的方向）。
• b 是截距（决定超平面的位置）。

---

​总结​

• ​低维中的超平面​：直线（2D）、平面（3D）。
• ​高维中的超平面​：看不见但算得出的“广义平面”。
• ​机器学习中的作用​：线性模型的决策边界。