欧拉函数euler

特整理欧拉函数的一些介绍，以便于一些知识的梳理，不做证明，只是知道如何利用即可。有时间再补充。
参考欧拉函数求法与应用。
欧拉函数：小于n的正整数中与n互质的数的个数，$\varphi(1)=1$。
通式：$\varphi(n)=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{3}}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_{n}}\right)$， 其中 ${p_{1}}，{p_{2}}, \cdots, {p_{n}}$ 为n的所有质因数，n是不为0的整数。（从一个正数的幂分解来理解，$n={p_{1}}^{q_{1}}{p_{2}}^{q_{2}}\cdots{p_{n}}^{q_{n}}$.）
性质：
若n是质数p的k次幂，$\varphi(n)=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$。
若n为素数，则$\varphi(n)=n-1$。
若n为奇数，则$\varphi(2n)=\varphi(n)$。
欧拉函数是积性函数：若m和n互质，$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$。（即若$（m, n) = 1$，$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$）
除了 $n=2$，$\varphi(n)$ 都是偶数。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是$\varphi(n)*n/2$。

//直接求解欧拉函数
int euler(int n){ //返回euler(n)
     int res=n,a=n;
     for(int i=2;i*i<=a;i++){
         if(a%i==0){
             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 
             while(a%i==0) a/=i;
         }
     }
     if(a>1) res=res/a*(a-1);
     return res;
}

//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init(){
     euler[1]=1;
     for(int i=2;i<Max;i++)
       euler[i]=i;
     for(int i=2;i<Max;i++)
        if(euler[i]==i)
           for(int j=i;j<Max;j+=i)
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}

再补充一个费马小定理，参考费马小定理——从素数判定到RSA公钥加密体制。
设p为质数，则对于每个与p互质的整数a，$a^{p-1}$被p除的余数为1，即$a^{p-1}~\equiv~1(mod~p)$. “$a~\equiv~b(mod~c)$”为同余符号，这是高斯发明的，表示a和b除以c得到相同的余数。我们以前学过的从2到$\sqrt{n}$的试除法是指数级的（这里的复杂度要按照n的二进制形式位数N来算，由于$n=2^{N}$，所以$\sqrt{n}$可认为$\sqrt{2}^{N}$。2002年，三维印度数学家找到了素数判定的多项式算法，复杂度为$O({(log~n)}^{6})$，说明素数判定是一个比较容易的问题。
根据费马小定理的逆否命题，如果$a^{p-1}~mod~p<>1$，则p一定是合数。