第十一届蓝桥杯校内赛/校内选拔赛(2020年)I题序列

这篇博客探讨了第十一届蓝桥杯校内赛的一道问题,涉及正整数序列的计算。题目要求计算满足特定条件的序列数量,即序列的每一项小于前两项差的绝对值。博客提供了输入输出格式、样例及解题思路,并给出Java代码实现,讨论了不同n值下的评测用例规模与约定。

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序列

问题描述

小明想知道,满足以下条件的正整数序列的数量:
  1. 第一项为 n;
  2. 第二项不超过 n;
  3. 从第三项开始,每一项小于前两项的差的绝对值。
  请计算,对于给定的 n,有多少种满足条件的序列。

输入格式

输入一行包含一个整数 n。

输出格式

输出一个整数,表示答案。答案可能很大,请输出答案除以10000的余数。

样例输入

4

样例输出

7

样例说明
  以下是满足条件的序列:
  4 1
  4 1 1
  4 1 2
  4 2
  4 2 1
  4 3
  4 4
评测用例规模与约定
  对于 20% 的评测用例,1 <= n <= 5;
  对于 50% 的评测用例,1 <= n <= 10;
  对于 80% 的评测用例,1 <= n <= 100;
  对于所有评测用例,1 <= n <= 1000。

由题目能够得知,第三位可用的数只与前两位有关。
初始第一位为n。第二位的范围为 1~n 。
如果用T(n,m)表示以n为第一位,m为第二位的可能序列的话,那么对于n的解为 T(n,1)+T(n,2)+...+T(n,n)
而对于T(n,m)他的解可得为T(n,m)=1+T(m,1)+T(m,2)+...+T(m,|n-m|-1)
例如以 6 3为开头的序列,T(6,3)=1+T(3,1)+T(3,2)
所以根据以上结论就能够得出解。
以下是Java代码仅供参考

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static Scanner sc = new Scanner(System.in);

	public static void main(String[] args) {
		int n = sc.nextInt();
		int ans[][] = new int[n + 1][n + 1];
		int jg = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			jg += jie(ans, n, i);
		}
		System.out.println(jg%10000);
	}

	private static int jie(int[][] ans, int n, int m) {
		if (ans[n][m] != 0) {
			return ans[n][m];
		}
		int te = 1;
		for (int i = 1; i < Math.abs(n - m); i++) {
			te = (te + jie(ans, m, i)) % 10000;
		}
		return ans[n][m] = te;
	}
}

测试得出1000的结果所用的时间约为1300ms,正常情况下Java代码会有两秒的时间,该程序并不会超时。

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