数学规划详解：从线性到非线性，整数及多目标优化-优快云博客

目标函数 $min\quad z=f(x)=C^Tx$ ，其中 $C,x$ 为同一维度的列向量。
约束条件 $s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leq b\\A_{eq}x\leq b_{eq} \\ lb\leq x\leq ub \end{matrix}\right.$ ，第一个式子称为不等式约束，第二个不等式称为等式约束，第三个不等式称为上下界约束

如果是求取目标函数的最大值，可以对目标函数取负，求其最小值的最优解，也即是原来的目标函数的最优解

MATLAB求解

[x,fval]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0);
% x0表示迭代求解的初始值，但可以不给
% 
% 若不存在不等式约束，则令A=[],b=[]
% 
% 若不存在等式约束，则灵Aeq=[],beq=[]
% 
% 若第i个决策变量没有上界或下界，则灵lb(i)=-inf或ub(i)=+inf
% 
% 返回值x表示目标函数取最小值时x的取值
% 
% fval表示目标函数取得的最小值

非线性规划

完整数学模型

目标函数 $min \quad f(x)$
约束条件 $\left\{\begin{matrix} Ax\leq b, Aeqx=beq(linear\,constraints)) \\ C(x)\leq 0, Ceq(x)=0(nonlinear\,constraints) \\ lb\leq x\leq ub \end{matrix}\right.$

MATLAB求解

[x,fval]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)
%非线性规划的算法求解出来的是一个局部最优解，故非线性规划中对于初始值x0的选取非常重要
%如果需要求解全局最优解，有两种思路：
%①给定不同的初始值，在里面找到一个最优解‘
%②先用蒙特卡洛模拟，得到一个蒙特卡洛解，然后用这个解作为迭代初值x0
%option选项可以给定求解的算法，有四种可选择，'interior-point(内点法)','sqp(序列二次规划%法)','active-set(有效集法)','trust-region-reflective(信赖域反射算法)'
%@fun表示目标函数，要编写一个独立的m文件，存储目标函数

整数规划

MATLAB求解

[x,fval]=intlinprog(C,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
%intcon参数表示决策变量中哪些限制为整数
%其余参数与线性规划求解器linprog的参数相同

最大最小化

完整数学模型

目标函数 $min\{max\[f_1(x),f_2(x),...,f_m(x) \]\}$

约束条件 $s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leq b\\ Aeqx = beq\\ C(x)\leq 0\\ Ceq(x)=0\\ VLB\leq x\leq VUB\ \end{matrix}\right.$

MATLAB求解

[x,fval]=fminimax(@Fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)
% 大写@Fun表示该参数与fmincon的@fun有所不同
% @Fun参数表示目标函数用一个函数向量表示
% 即
% f=zeros(m,1)
% f(1)=...
% f(2)=...
% 返回值x为决策变量的取值
% 返回值fval为目标函数向量的极小最优解