最小二乘法-矩阵角度

勿在浮沙筑高台

Ax=b

  • ARm×n, m>n
    • 我们不能期望找到一个 xxRn, 使得Ax=b ;

    注:这里的矩阵A相当于线性模型中的输入,x相当于系数

考虑这样一组方程式:

x1+x2=32x1+3x2=12x1x2=2

我们需要求解x1,x2
122131=312

我们做一个行变换
1001100=3141

发现其实是没有解的,如果我们选择只满足一二行的解,有
x1=85,x2=75

把这个解带回原方程,可以算出新的结果为
b1=3195

b0b1之间的距离为||b0b1||2=125

最小二乘法的解法如下:

ATAx=ATb

等价于:
x^=(ATA)1ATb

我们尝试使用最小二乘法求解:

(97711)(x1x2)=(54)

求得 :
x1=8350,x2=7150

b1=1545047509550

||b0b1||2=(450)2+(350)2+(5502)

可以看出新生成的解与原向量的距离较短。

这其实是两个方向,一个是

  • 方程的解满足大部分的方程;
  • 方程的解使得新生成的向量与原来的向量距离最短;;

下面我们从矩阵的角度来看最小二乘法
以上述表达式为例

r(x)=bAx

b和Ax之间的距离可以表示为
||bAx||=||r(x)||

假设x^是我们要寻找的解,那么令p=Ax^,那么b是在A的列空间里离b最近的的一个向量。实际上 pbR(A)的投影。

未完,待续。。。。

### 最小二乘法矩阵的实现方法及原理 #### 1. 几何意义 最小二乘法的核心在于通过寻找最佳拟合直线或平面来减少误差平方和。其几何意义可以从线性方程组的角度出发理解。如果给定一组数据点 \((x_i, y_i)\),目标是最小化预测值 \(y\) 和实际值之间的偏差平方和。当这些数据无法精确满足某个线性关系时,可以通过投影的方式找到最接近解的空间向量[^1]。 对于一个超定系统(即未知数少于独立方程的数量),通常不存在完全一致的解决方案。此时,可以利用正交投影的概念,在列空间上求得最优近似解。 #### 2. 正规方程 (Normal Equation) 正规方程是解决最小二乘问题的一种解析方式。假设我们有如下形式的线性模型: \[ Ax = b \] 其中: - \( A \) 是大小为 \( m \times n \) 的设计矩阵- \( x \) 表示待估计参数组成的向量 (\(n \times 1\)), - \( b \) 则代表观测值构成的向量 (\(m \times 1\))。 由于可能并不存在确切的 \(x\) 能使上述等式成立,因此转而考虑以下优化问题: \[ \min_x \| Ax - b \|^2_2 \] 该问题可通过构建正规方程得到闭式解: \[ (A^\top A)x = A^\top b \] 这里的关键步骤是对原始残差项取转置并与原方程相乘,从而获得一个新的可逆系数矩阵\(A^\top A\)以及右侧常数项\(A^\top b\) [^2]. #### 3. MATLAB中的实现 MATLAB提供了多种途径用于计算最小二乘解。一种简单的方法就是直接调用内置函数`mldivide()`或者反斜杠运算符`\`, 它们能够自动检测输入是否适合采用QR分解或者其他高效算法完成数值稳定性的处理过程。下面展示如何手动编写基于正规方程的小型程序片段来进行回归分析: ```matlab % 输入样本数据 X = [ones(length(y),1), x]; % 添加偏移项作为额外特征 Y = y; % 计算正规方程 theta = inv(X' * X) * X' * Y; ``` 注意这里的 `inv()` 可能带来性能损失甚至病态条件下的不稳定性;现代做法更倾向于避免显式的矩阵求逆操作,而是依赖更加稳健的技术比如奇异值分解(SVD)[^3]。 #### 4. 应用场景扩展思考 除了基本理论外,还需要关注不同类型的噪声分布对结果的影响程度评估指标选取等问题。 ---
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