信号与系统

傅里叶变换

在线性代数的理论中，对于n维空间中的某一向量可以用其他n个正交基{xixj=0,i≠j}\{x_ix_j=0,i\neq j\}{xi​xj​=0,i​=j}来线性表示。假设该n维向量维Y，由n个正交基{x1,x2,...,xn}\{x_1,x_2,...,x_n\}{x1​,x2​,...,xn​}线性构成，即满足：

$$Y=a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n\text{\hspace{1em}(1-1)}$$

由于任意两个不相同的基底向量都正交，则根据该特点可以通过以下方式得到某一个基底向量的系数：

$$\begin{array}{rl}{Y}^T{x}_n& =a_1{x}_1^T{x}_1+a_2{x}_2^T{x}_2+...+a_n{x}_n^T{x}_n\\ & =0+0+a_n{x}_n^T{x}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

所以对于$a_n$有：

$$a_n=\frac{1}{x_n^2}{Y}^T{x}_n\text{\hspace{1em}(1-3)}$$

对于一个连续周期信号$f(t)$，我们可以将其看作是无数个间隔无限小的离散点构成的。取信号中的某一周期，将其看做一个无限长的向量。那么根据上面的理论，该向量可以用无限多个正交基线性表示，其中一组最常见的正交基为{1,sin(nwt),cos(nwt),n=1,2,..,∞}\{1,sin(nwt),cos(nwt),n=1,2,..,\infty\}{1,sin(nwt),cos(nwt),n=1,2,..,∞}。即：

$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{n=\infty }{a}_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)\text{\hspace{1em}(1-4)}$$

对于每个基底向量的系数$a_n$、$b_n$、$A_0$同样可以用上面的方式来获取：

$$A_0=\frac{2}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt\text{\hspace{1em}(1-5)}$$

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(nwt)dt\text{\hspace{1em}(1-6)}$$

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(nwt)dt\text{\hspace{1em}(1-7)}$$

欧拉公式是工科学习中的一个非常重要的知识点，该给出了指数和正弦函数的关系：

$$e^{jwt}=cos(wt)+jsin(wt)\text{\hspace{1em}(1-8)}$$

所以可以用指数来表示正弦和余弦，即：

$$cos(wt)=\frac{1}{2}(e^{jwt}+e^{-jwt})\text{\hspace{1em}(1-9)}$$

$$sin(wt)=-j\frac{1}{2}(e^{jwt}-e^{-jwt})\text{\hspace{1em}(1-10)}$$

所以公式（1-4）可以重新进行表述：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{n=\infty }\frac{1}{2}{a}_n(e^{jwt}+e^{-jwt})-\frac{1}{2}j{b}_n(e^{jwt}-e^{-jwt})\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{2}(a_n-j{b}_n)e^{jwt}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-11)}$$

令$c_n=\frac{1}{2}{a}_n-j{b}_n$则公式（1-11）为：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{jwt}\text{\hspace{1em}(1-12)}$$

值得注意的是$c_n$是复数，其实部$a_n$是对应频率的$cos(nwt)$的幅值，虚部负数即$b_n$是对应频率$sin(nwt)$的幅值。或者可以说$c_n$是该频率分量$cos(nwt+\varphi )$的幅值大小。

可以通过计算$c_n$来分析某个信号$f(t)$的频率组成成分：

cn=1T∫−T2T2f(t){cos(nwt)−jsin(nwt)}=1T∫−T2T2f(t)e−jwt(1-13) \begin{aligned}c_n&={1\over T}\int_{-T\over 2}^{T\over 2} f(t) \{cos(nwt)-jsin(nwt) \}\\ &={1\over T}\int_{-T\over 2}^{T\over 2} f(t)e^{-jwt}\end{aligned}\tag{1-13} cn​​=T1​∫2−T​2T​​f(t){cos(nwt)−jsin(nwt)}=T1​∫2−T​2T​​f(t)e−jwt​(1-13)

以上的分析是基于信号为周期信号的情况时得出的结论。但是倘若信号为非周期信号，即$T=\infty$，由公式（1-6）（1-7）可知，此时的频率分量系数都会趋近于0，所以$c_n$也会趋近于0。此时该系数会变得没有意义。

针对以上问题，可以通过在$c_n$前乘周期T来解决，无穷小的数乘无穷大的数会变成一个有限数。即：

$$c_{n}T={\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt\text{\hspace{1em}(1-14)}$$

称$F(w)=c_{n}T$为频谱密度，代表的是对应单位频率分量幅度的相对大小。此时$F(w)$成为傅里叶变化，其的计算式为：

$$F(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt\text{\hspace{1em}(1-15)}$$

若信号长度是有限的，则傅里叶变换仍然适用，此时其积分范围可以是信号的非零部分。

$$F(w)={\int }_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jwt}dt\text{\hspace{1em}(1-16)}$$