动态规划若干问题（更新中...）

错排问题 

我们先来科普一下错排问题，oier们以后也会用到/

错排问题指考虑一个有 n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为 D(n) 。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 ---《百度百科》

看上去这就是一个递推问题，那么递推式是如何推出来呢？ 当 n 个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用 D(n) 表示，那么 D(n-1)就表示 n-1 个编号元素放在 n-1 个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第 n 个元素放在一个位置，比如位置 k ，一共有 n-1 种方法；
第二步，放编号为 k 的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置 n ，那么，对于剩下的 n−1 个元素，由于第 k 个元素放到了位置 n ，剩下 n−2 个元素就有 D(n−2) 种方法；⑵第 k 个元素不把它放到位置 n ，这时，对于这 n−1 个元素，有 D(n−1) 种方法；
综上得到
D(n) = (n-1) *(D(n-2) + D(n-1)）
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1

信封问题 - 洛谷

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int f[25],n;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	f[1]=0;f[2]=1;f[3]=2;
	if(n==1||n==2||n==3)
	{
		printf("%d",f[n]);
		return 0;
	}
	for(int i=4;i<=n;i++)
	{
		f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
	}
	printf("%d",f[n]);
	return 0;
 } 

最短路径 

租用游艇 - 洛谷

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int n;
int a[205][205];
int f[205 * 205];
int main()
{
	cin >> n;
	int h = 98989898;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
		{
			cin >> a[i][j];
			f[i] = h;
		}
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
		{
			f[i] = min(f[i], a[i][j] + f[j]);
		}
	cout << f[1] << "\n";
	return 0;
}

用数组a[i][j]来存储从i到j的距离（用i->n表示）。

	中转站1	中转站2	中转站3
中转站1	0	5	15
中转站2	0	0	7
中转站3	0	0	0

dp[i]表示从i到终点的最短距离，（用i↑n表示）。

for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			f[i] = min(f[i], a[i][j] + f[j]);

以n=5为例

i	4	3	2	1
比较内容	4↑5	3↑5	2↑5	1↑5
被比较内容	4->5,5↑5	3->4,4↑5	2->3,3↑5	1->2,2↑5
				1->3,3↑5
			2->4,4↑5	1->4,4↑5
		4->5,5↑5	2->5,5↑5	1->5,4↑5