基于累加的PDM算法的原理

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#PDM编码 #PDM算法 #单片机PDM #PDM累加算法

本文介绍了基于累加的PDM算法，通过在定时中断内执行累加操作，输出0或1来逼近目标值。算法随着中断次数增加，逼近精度提高。对于不同位数的MCU，可以选择不同的N值优化算法效率。这种算法类似于“集腋成裘”，在现代MCU中仍有其应用价值。

基于累加的PDM算法的原理

- 基于累加的PDM算法(2)


　PDM编码原理如下：


　　单片机能输出Sin(t)吗？能，DA。

　　没有DA怎么办？PWM。

　　没有PWM怎么办？

　　事情就是这么来的。20多年前，不要说单片机内没有PWM，而且当时的MCS-51系列内连Timer2还没有呢。这个算法就是20多年前逼出来的。

　　下面看我怎样在数字端口输出SQRT(0.5)= 0.70710678…。

　　假设我们要输出实数值x，x在[0,1)。

　　我们只需要一个变量存累计数，事实上，我们只须保存尾数，不妨就叫它为Mantissa。Mantissa可以有[0,1)范围内的任意初始值。

　　下面一段程序是在定时中断内执行的。中断间隔是由你系统的需要和MCU的能力确定的。

Timer_ISR:

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<think> 首先，用户查询是“请问累加算法介绍”，意思是“Please introduce the cumulative algorithm”。根据系统指令，我需要参考提供的引用内容来回答。 回顾引用内容： - 引用[1]：讨论VB中的累加算法在计算机等级考试中的应用。 - 引用[2]：详细解释了累加和累积算法，包括定义、示例（如1到100的累加和小球弹跳问题），以及算法要点（初始化、循环控制、累加项变化）。 - 引用[3]：提供了C语言实现阶乘累加的代码示例。 - 引用[4]：关于DSP作业中实现乘累加算法的方法。 用户指定要查找“累加算法”的信息，所以我需要聚焦在累加算法的介绍上。引用[2]是最相关的，因为它直接定义了累加算法。 我的回答需要遵循系统指令： - 使用中文回答。 - 结构清晰，步骤化。 - 在行内数学表达式使用$...$，独立公式使用$$...$$。 - 末尾添加引用标识。 - 生成相关问题。 结构化回答： 1. **介绍累加算法的定义**：基于引用[2]，累加算法是将一系列数据加到一个变量中，得到总和。 2. **解释算法要点**： - 初始化变量（通常v=0）。 - 循环控制（固定次数或条件判断）。 - 累加项的变化。 3. **举例说明**：使用引用[2]中的例子，如1到100的累加和。 4. **相关代码示例**：可以引用引用[3]中的C代码或引用[4]中的汇编相关内容，但要聚焦在累加上。 5. **引用标识**：在相关部分末尾添加[^2]等。 6. **生成相关问题**：在末尾添加三个相关问题。 确保数学表达式正确： - 对于累加算法，可以用数学符号表示：累加和表示为 $\sum_{i=1}^{n} a_i$。 - 在小球弹跳例子中，可能需要独立公式。 例如： - 行内：$s = \sum_{i=1}^{n} a_i$ - 独立：对于小球问题，路程计算等。 最终回答结构： - 开头解释累加算法。 - 逐步分解算法要点。 - 提供示例。 - 简要提及代码实现。 - 生成相关问题。 相关问题想法： 1. 累加算法的常见应用场景？ 2. 如何优化累加算法的性能？ 3. 累加算法在不同编程语言中如何实现？ </think> ### 累加算法介绍 累加算法是一种基础的计算方法，用于将一系列数值依次相加，得到一个总和。它在编程、数学和数据处理中广泛应用。下面我将从定义、要点、实例和实现角度逐步解释累加算法，确保内容清晰实用。 #### 1. **累加算法的定义** 累加算法（Accumulative Algorithm）的核心是将多个数据项依次添加到同一个变量中，最终生成累加和。其数学形式可以表示为： $$ S = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i $$ 其中： - $S$ 是累加总和； - $a_i$ 是第 i 个累加项； - $n$ 是累加项的总数。 这种算法常用于求和问题，如计算数列总和、统计数据求和或物理模拟中的路径累计[^2]。 #### 2. **累加算法的要点** 实现累加算法时，需注意以下关键步骤： - **初始化变量**：累加变量（通常记为 $v$）必须从初始值开始累加。对于纯累加，$v$ 初始化为 $0$（如果涉及累积乘法，则初始化为 $1$）。例如，在 VB 或 C 语言中，你会看到 `sum = 0` 的语句[^2]。 - **循环控制**： - **固定次数循环**：适用于已知项数的情况，如计算前 100 个整数的和（$v = \sum_{i=1}^{100} i$）。循环次数由 $n$ 决定。 - **条件循环**：当项数不确定时，需设置终止条件。例如，计算圆周率近似值，直到累加项的绝对值小于 $10^{-6}$[^2]。 - **累加项变化**：累加项 $e$ 可能在每次迭代中变化（如递增、递减或基于公式更新）。例如，在弹跳小球问题中，每次反弹高度减半，累加项需动态计算[^2]。 #### 3. **实例演示** - **简单累加示例**：计算 $1$ 到 $100$ 的累加和。 - 初始化：$v = 0$ - 循环：对于 $i$ 从 $1$ 到 $100$，执行 $v = v + i$ - 结果：$S = \sum_{i=1}^{100} i = 5050$ - 数学公式：$$ S = \frac{n(n+1)}{2} \quad \text{当} \quad n=100 $$ - **复杂示例**：小球弹跳路径问题。 - 问题：小球从高度 $h$ 落下，每次反弹回原高度的一半，求第 10 次落地时总路程。 - 算法要点： - 初始化 $v = h$（初始下落） - 循环 9 次（从第 2 次到第 10 次反弹），每次累加 $e = 2 \times \frac{h}{2^k}$（$k$ 为当前反弹次数） - 结果：$S = h + 2h \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{2^k}$[^2] #### 4. **代码实现参考** 累加算法在编程中易于实现。以下是基于 C 语言的简化示例（引自引用[3]），计算前 n 个整数的累加和： ```c #include <stdio.h> int main() { int n, sum = 0; // 初始化累加变量 sum = 0 printf("请输入正整数 n："); scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) { // 固定次数循环 sum += i; // 累加操作: v += e (e 为 i) } printf("累加结果: %d\n", sum); return 0; } ``` 在其他语言（如 VB 或汇编）中，逻辑类似：初始化 $v$，循环累加 $e$[^1][^4]。在 DSP 应用中，还涉及乘累加（如引用[4]的 SOP 算法），但核心是累加模式。 #### 总结 累加算法是编程和数学的基础工具，强调初始化、循环控制和项更新。它在计算机考试（如 VB）、科学计算（如物理模拟）和嵌入式系统（如 DSP）中广泛应用[^1][^2][^4]。如需深入细节，可参考具体代码实现或算法优化方法。
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