m*n拼图自动还原算法

引言       

          拼图游戏很适合休闲放松的时候玩，所有在上大学的一段时间里，我比较喜欢玩用以打发无聊的时光。

         恰巧2016年李世石与阿尔法狗对弈，虽然不懂围棋，但是围棋对弈作为还未被计算机算法攻陷的堡垒，我很好奇最后结果是什么样，于是就看了每一场比赛。比赛最后的结果与李世石和围棋大师们的预期相反，李世石1:4阿尔法狗宣告计算机获得了胜利。当时我想既然下围棋都能够用算法完成，那么可不可以写一个自动还原拼图的算法呢？我并不懂人工智能，但是还原拼图也是一件很简单的事情，应该能够写成算法。然后我就着手进行了研究，经过一个多月心里也有了一个完整的可行想法。研究做完后由于快要期末了，有很多期末实验要做，也就没有真正的去实现它。现在到了2017年，找了点时间对这个问题进行了更深入的研究，也觉得既然心里有一个不错的想法分享出来会更好。

     

                    

                       打乱前                                         打乱后

人复原拼图的思路

       以4*4拼图为例，说明复原拼图的一般方法，分别对拼图中的图片及位置进行编号。这样我们就能用二元向量来表示某一块图片当前所对应的坐标了，如下图用向量的形式可以表示为：（1,1）、（2，2）......(16,16)。

      约定：向量的第一个数字代表位置，第二个数字代表图片编号 。直接用某一块拼图图片的编号作为它的名字，例如称编号为1的一块拼图图片为1.

                                                                                            

    在打乱拼图后，按以下步骤进行复原：

                   图1                      图2                    图3                                 图4      

                                             图5                                                                                       图6                                                                                                                                                                               

          

                   图7                         图8                            图9                                  图10

                

       1.打乱拼图后（图1），首先把1复原到位置1（图2），接着把2复原到位置2（图3）。接着要复原3、4，这时不能直接把3复原到位置3，而是需要先把3移动到位置4，把4移动到位置8（图4），同时复原3、4（图5）。对于m*n拼图，在m>=3,n>=3时，我们需要按行复原，每一行的最后两个需要向上面说的同时进行复原。

       2.按复原第一行的方法复原第二行（图6），对于后两行我们需要按列从左到右进行复原，首先把13移动到位置9,9移动到位置10（图7），同时复原13和9（图8）.依照同样的方法复原10、14（图9），最后三块随便按照某一方向旋转，如果拼图是可复原的，剩下的三块会自然地回到自己的位置上（图10）。在复原任意拼图的时候最后两行遵循同样的方法。

       既然是复原m*n,自然会有一些特殊情况：m=1,n>1; m>1,n=1; m=2,n=2; m=2,n=3; m=3,n=2 五种特殊情况，如果一个人知道如何复原4*4的拼图，其实他就能复原任何m*n的拼图。如果机器知道如何复原4*4的拼图，那它就不一定知道如何复原其它的拼图，写这篇博客的动因就是寻找一种复原拼图的普适算法（用面向对象的方法实现它），我们在寻找方法之前可以问自己，为什么人可以迅速掌握一个普遍适用的方法？是否可以用数学里的理论去分析它们呢？

寻求数学上的解法

         不可还原拼图： 不可还原拼图

        了解不可还原拼图对我们的探索会有很大帮助。

         可以用向量的形式表示图片与位置的对应，例如（3,4），我们可以这样定义：处于位置3的是图片4。对于拼图以2*3为例：（1,3）、（2,5）、（3,2）、（4,6）、（5,1）、（6,4）这样可以表示出一个打乱时的状态。

        这为我们提供了一些思路，但是有更好的方法来表示拼图的状态。用置换群表示会是这种形式：（1,3,2,5）（4,6），位置1对应3，位置3对应2，位置2对应5，位置5对应1，位置4对应 6，位置6对应4。 每个数字都有两重意义：位置和拼图编号，读者可以上网搜一些置换群的资料，只需很少的知识就能理解上面的表示方法。

       e表示拼图还原时的状态。

       每次移动拼图都能表示为一次置换运算，例如：由（1，3,2,5）（4,6）移动拼图为（1,6,4,3,2,5）可以用群运算表示为（1,4）（1,3,2,5）（4,6）。可以这样理解对换（1,4），位置1和位置4上的图片交换位置，拼图状态的每一次变化都是一次位置的对换。

      2*3的拼图一共存在7种对换， m*n(m>1,n>1)的拼图一共存在 2*m*n-m-n种对换。
      看看复原拼图的过程如何用置换运算表示，以（1，3，2，5）（4，6）为例，按步计算：

              1，（4,5）（1,3,2,5）（4,6）=（1,3,2,4,6,5）    //交换位置4和5图片

              2，（5,6）（1,3,2,4,6,5）=（1,3,2,4,5）             //交换位置5和6的图片，6回到了自己的位置（这里需要说明6是空缺的那一块）

              3，（3,6）（1,3,2,4,5）=（1,6,3,2,4,5）

              4,     (2,3)(1,6,3,2,4,5)=(1,6,2,4,5)

              5,     (2,5)(1,6,2,4,5)=(1,6,5)(2,4)

              6,     (5,6)(1,6,5)(2,4)=(1,5)(2,4)

              7,     (3,6)(1,5)(2,4)=(1,5)(2，4）（6,3）

              8，（2,3）（1,5）（2,4）(6,3)=(1,5)(2,4,3,6)

              9,     (1,2)(1,5)(2,4,3,6)=(1,5,2,4,3,6)

              10,   (1,4)(1,5,2,4,3,6)=(1,5,2)(3,6,4)

              11,   (4,5)(1,5,2)(3,6,4)=(1,4,3,6,5,2)

               12,  (5,6)(1,4,3,6,5,2)=(1,4,3,5,2)

               13,  (3,6)(1,4,3,5,2)=(1,4,6,3,5,2)

               14,  (2,3)(1,4,6,3,5,2)=(1,4,6,2)(3,5)

               15,  (2,5）（1,4,6,2）（3,5）=（1,4,6,5,3,2）

               16,（5,6）（1,4,6,5,3,2）=（1，4,5,3,2）

              17 ,（3,6）（1,4,5,3,2）=（1,4,5,6,3,2）

              18,（2,3）（1,4,5,6,3,2）=（1,4,5,6,2）

             19 ,（1,2）（1,4,5,6,2）=（1,4,5,6）

             20,（1,4）（1,4,5,6）=（4,5,6）

             21, （4,5）（4,5,6）=（5,6）

             22，（5,6）（5,6）=e

        经过22步把拼图复原，这些计算过程模仿了人复原拼图用的方法。

总结

      现在我们已经找到了人复原拼图遵循的普遍方法，又在数学上找到了移动的对应的表示方式，所以到此可以说已经找到了自动复原拼图的算法。拼图的数学上的解法，有一个有意思之处：每个数字都有双重的含义（即表示图片又表示位置）。由于有其他事情我并未真正实现这个算法，在以后的我会先制作一个拼图游戏，然后再去实现它。如果读到这篇博客的人，对这个问题也有兴趣，也可以按照这个思路自己去实现它。