一个DP入门题目

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假设某条街上每一公里就有一个公共汽车站，并且乘车费用如下表：
公里数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
费用 12 21 31 40 49 58 69 79 90 101
而任意一辆汽车从不行驶超过10公里。某人想行驶n公里，假设他可
以任意次换车，请你帮他找到一种乘车方案，使得总费用最小
注意：10公里的费用比1公里小的情况是允许的。
*/题目:假设某条街上每一公里就有一个公共汽车站，并且乘车费用如下表：
公里数   1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
费用    12  21  31  40  49  58  69  79  90  101
而任意一辆汽车从不行驶超过10公里。某人想行驶n公里，假设他可
以任意次换车，请你帮他找到一种乘车方案，使得总费用最小
注意：10公里的费用比1公里小的情况是允许的。

 

恩,有经验的人第一眼就看出来要用动态规划.....但开始的时候本人不是那种有经验的人.....所以走了很多弯路.在这里把之前错误的想法一起说出来,也算是逐步的见证自己一点一点的提高吧.

 

先说一下最原始的时候的想法..现在想起来真是幼稚到可怕. 最初的时候我是这么考虑的,嗯,十公里....假设我们要乘坐a公里,a / b = c ...... e

意思是我要乘a公里,可以分成乘坐c个b公里,再加上一个e公里. 然后b的取值是1~10 e是0~9 然后分别计算出代价,再比较得出最小值...

这里得到的值实际上和预期差很多,原因在于,这样做实际上相当于只考虑了转车的次数是1次的情况.而实际上转车的次数可能不只是1

 

后来同学想了另外一种方法,就是每次都乘坐性价比最高的车次.这样的做法实际上就是贪心.是局部最优解.....那时候没有意识到每一部分都是局部最优,但是组合起来却不一定是整体最优.......

 

再后来,晚上通宵看书的时候恰好看了动态规划.....猛然发现,这题就应该用动态规划来做.......唉,真是道路曲折啊

 

DP 有四个要素,第一划分阶段,第二是状态,第三是决策,第四是状态转移方程.

在这一题看来,走多少公里就是一个阶段, 走1公里是一个阶段,走两公里是一个阶段,三公里是一个阶段......

而决策便是,下一个阶段我应该怎么走(在这里就是要走费用最小的)

状态,在这里就是每一阶段的最优解

状态转移方程就是,在我们的决策下本阶段变化到下一个阶段的时候,当前状态与下一个状态的变化关系.

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MIN(a,b) (a < b ? a : b)//这里就是我们的决策,要选小的方案 int main(void) { int n; scanf("%d",&n); int *cost = (int *)malloc(sizeof(int) * n + 1); for (int i = 1; i <= 10; ++i)//初始化前十公里的花费 { scanf("%d",&cost[i]); } ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //为了实现以最少的花费走第一公里 //10公里的费用比1公里小的情况是允许的。 int min = cost[1]; for (int i = 1; i <= 10; ++i)//取花费最少的那个,而不是性价比最高的 { if (cost[i - 1] > cost[i]) { min = cost[i]; } } cost[0] = 0; cost[1] = min; ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// for (int i = 2; i <= n; ++i)//不同的阶段 { if (i > 10)//当i>10的时候后面的数字的没有初始化的,都是一个很大的负数数... {//这样在状态转移方程那里就会一直是负数了 cost[i] = INT_MAX; //这里将这些变量初始化为一个很大的数,另外一个意义在于 }//10公里之后的肯定是由前面的部分组合而来的 for (int j = 1; j <= 10 && j < i; ++j) { cost[i] = MIN(cost[i],cost[i-j]+cost[j]);//状态转移方程 } } printf("%d/n",cost[n]); return 0; }