软件开发笔试心得一：循环报数，圆圈报数，约瑟夫问题

最近一段时间一直在找工作，没有心思写心得。今天刚好从淳中视讯面试回来，有一道题很有意思。

1. n个人围成一个圆圈，从1到3开始报数，报到3的人出去，这样一直循环，直到只剩下一个人。问剩下的人在开始报数之前的编号？

 

当时我想的是直接用循环链表来模拟整个报数的过程，即构造一个n个数的循环链表，进行循环遍历，每当数到3时删除当前指向的节点，直到剩下最后一个。

但是该算法比较复杂,肯定还有简单的算法。

回来查了一下百度果然是这样，这是经典的约瑟夫问题：

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

 

我们回到解题思路上，考虑一般的情况，n个人排成一圈，从第1个人开始报数，报数口号从1到m（报到m的人从圆圈里出去），循环直到只剩一个人，问最后剩下的人开始的编号是多少？

假设答案ans = F(n,m)。则F(1,m)=1; F(2,2) = 1; F(2,3) = 2;

假设有n个数： 1,2,3,4,5,6....,n-2,n-1,n。

中奖的第一个人的序号一定是：a1 =  (m%n ).那么剩下的人构成一个n-1约瑟夫环:

1,2,3...a1-1,a1+1...n-1,n.

即： a1+1,a1+2....1,2,...a1-1. 每个元素做映射：

a1+1 -> 1,

a1+2 -> 2,

.....

a1-1 -> n-1.

剩下的数构成一个新的约瑟夫环并且规模为n-1.

因为从n转换到