序列的划分

1 算法描述与分析

（1）问题的理解与描述

序列的划分问题描述如下：

输入：序列A[p...r]

输出：下标q（p≤q≤r），原序列A[p...r]的一个重排：使得A[p...q]中的元素值不超过A[q]（=原A[r]的值），A[q+1...r]中的元素值均大于A[q]。

解决此问题的算法对序列A[p...r]进行原地重组。算法选择元素x=A[r]作为主元素，以它为分界点对序列A[p...r]进行划分，目标是将其分成前后两段A[p...q]和A[q+1...r]，使得A[p...q]中的元素值不超过x，而A[q+1...r]中的元素值大于x。 算法维护两个下标值i和j，初始值分别为p-1和p。让j在[p...r]中扫描，若A[j]≤A[r]，则将A[j]与A[i+1]交换，然后i增加1。这样，在此过程中，A[p...i]中的元素均不超过A[r]，而A[i+1...j]中的元素大于A[r]。随着j的增加，A[p...i]和A[i+1...j]也随之增长，最后j达到r-1，并将A[r+1]和A[r]交换，返回i+1即为所求的q。

例如对下图中所示的序列进行的操作：

图：对一个样本序列的划分操作。浅蓝色数组元素都在第一部分A[p...i]中，其值都不大于x。深蓝色数组元素都在第二部分A[i+1,j]中，其值都大于x。无阴影元素是尚未进入上述两个部分的元素，黑色元素是基准元素。(a)初始的序列和变量设置。没有任何元素进入两部分。(b)~(h)表示第3~6行的For循环的每一次重复。黑色双向箭头表示第6行的元素交换操作。(i)表示上述循环终止后第7行执行的元素交换操作。  

（2）算法的伪代码描述

PARTITION(A, p, r)
1  x ← A[r]
2  i ← p - 1
3  for j ← p to r -1
4      do if A[j] ≤ x 
5          then i  ← i + 1
6              exchange A[i] ←→ A[j]
7  exchange A[i+1] ←→ A[r]
8  return i + 1

算法：解决划分问题的PARTITION算法

（3）算法的正确性

（4）算法的运行时间

假定序列A[p...r]中含有n个元素。在此过程中，第3~6行的for循环重复了n次，所以该算法的最坏运行时间为O(n)。

2 程序实现

       /** 
	* @MethodName：partition 
	* @Description: 该方法用于序列的划分
	* @param a 用于存储序列的数组
	* @param p 序列划分的开始位置
	* @param r 序列划分的结束位置
	* @return 序列划分的分界点
	*/
	public static int partition(int []a, int p, int r){
		int x = a[r];//设定基准元素为a[r]
		int i = p - 1;//用于记录序列前一部分的最后一个元素位置，初始为p-1
		int j = p;//用于循环扫描序列，范围为p~r-1
		//循环扫描序列
		for(j = p;j < r; j++ ){
			//如果在p~r-1中找到某一个元素比基准元素小，则将其交换至第一部分尾部，
			//对应元素交换至j处
			if(a[j]<=x){
				//由于第一部分即将新添加一个元素a[j]，所以i加1（为a[j]要交换至的位置）
				i++;
				//交换j和i处元素
				swap(a, j, i);
			}
		}
		//最后交换基准元素a[r]至第一部分尾部
		swap(a, i+1, r);
		//返回序列划分的分界点位置i+1
		return i+1;
	}
	
	/** 
	* @MethodName：swap 
	* @Description: 用于交换序列中两个位置的元素
	* @param a 用于存储序列的数组
	* @param p 要交换的第一个元素的位置
	* @param r 要交换的第二个元素的位置
	*/
	private static void swap(int []a, int p, int r){
		int t = a[p];
		a[p] = a[r];
		a[r] = t;
	}