背包问题模版加详解以及各类题型汇总(适合新手)

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背包问题

一般背包问题

题意:在不超过给出的体积的情况下,求最大价值
解法:套01背包,完全背包,多重背包,分组背包的板子

01背包


 for(int i= 0;i<n;i++)
    {
       for(int j = m;j>=v[i];j--)//每个物品只能使用一次,如果是正序的话,我们不知道f[j-v[i]]这个状态的最大价值
      // 是否选了当前物品,因为只能选一次,所以就没法做了.逆序的话,f[j-v[i]]代表选前i-1个物品的最大价值,当前物品肯定没选,所以应该是逆序.
       {
           f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
       }
    }

完全背包

	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = v[i]; j<=m; j++)//01背包和完全背包的唯一区别就在这里.完全背包问题,每个物品可以无限选,我们不用管他之前是不是选过,f[j-v[i]]代表的就是这个体积下的最优解,直接用就可以.
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
	}

多重背包I

	for (int i = 1; i <= n; i++)   
	 cin >> v[i] >> w[i]>>s[i];
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = m; j >=v[i]; j--)
		{	
		for(int k = 0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++)//对于当前种类的物品选n个,这个n个物品看成一个物品,
		//外面套一个01背包的模版代表选与不选.这个k对应的for循环代表抽象出来的这一个物品的不同情况
			f[j] = max(f[j], f[j - k*v[i]] + k*w[i]);
		}
	}
	cout << f[m];

多重背包II

(二进制优化,将单个物品以二进制的数量存为一个物品,再用01背包模版)


while (n--)
	{
		int vv, ww, num;
		cin >> vv >> ww >> num;
		int idx = 1;
		while (idx <= num)
		{
			cnt++;
			v[cnt] = idx * vv;
			w[cnt] = idx * ww;
			num -= idx;
			idx *= 2;
		}
		if (num>0)
		{
			cnt++;
			v[cnt] = num * vv;
			w[cnt] = num * ww;
		}
	}

其他类型背包问题汇总(问法,条件等都有变化)

1.(acwing4700)

大于一定体积下的最小价值

给了n个物品,求在保证总价值大于等于m的情况下,总价值最小是多少(一般背包试求总价值最大,这个是求总价值最小)
解法一:
求出所有物品价值之和为sum,问题转化为总价值不超过sum-m的情况下,总价值的最大值.
(在本题中,价值和体积等价)
解法二:(同时也是体积大于给定值,求总价值最小的模版)

	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[0]  = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
	    int w = a[i]; int v = w;//在本题中v和w等价
		for (int j = x; j >= 0; j--)//x代表要求的最小体积
		{
			f[j] =min(f[j],f[max(0,j-v)]+w);//因为要求体积大于某个值,所以j-v<0这种情况合法,也要用来更新状态
		}
	}
	cout<<f[x];

2:(acwing451)

多重背包下的方案数问题

f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)//这是一维背包dp,所以线性遍历n
	{
				for (int j = sum; j >=1; j--)
				{
					for (int k = 1; k <= s[i]&&k<=j; k++)//对于每个j来说,当前物品可能选1个或者2个或者更多
					//所以不同情况的k都需要来更新f[j]
					{
						f[j] += f[j - k];
						f[j]%=mod;
					}
				}
			
		
	}
	cout << f[sum]%mod;