后缀数组

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本文介绍了后缀数组的概念，包括其定义、构造方法及其在字符串处理中的应用。首先定义了一个带有特殊字符的字符串S，接着解释了后缀数组SA如何通过排序字符串S的所有后缀来构造，以及名次数组Rank如何表示每个后缀的位置。最后，对比了不同构造方法的效率，特别是倍增算法如何将时间复杂度降低到O(nlogn)。

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好难,慢慢学.

1,定义:

(1)约定一个字符集Σ和一个字符串 S，设 len(S)=n，且 S[n]='$'，也就是说 S 以一个特殊字符'$'结尾，并且'$'小于Σ中的任何一个字符。除了 S[n]之外，S 中的其他字符都属于Σ。对于约定的字符串 S，从位置 i 开头的后缀直接写成 Suffix(i)。
例如:S=mississippi+'$'
(2)后缀数组
后缀数组SA 是一个一维数组，它保存 1..n 的某个排列
SA[1],SA[2],...SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1]),1≤i<n。也就是将S 的 n 个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA中。
例如:
T1 = mississippi$ = txt
T2 = ississippi$
T3 = ssissippi$
T4 = sissippi$
T5 = issippi$
T6 = ssippi$
T7 = sippi$
T8 = ippi$
T9 = ppi$
T10 = pi$
T11 = i$
T12 = $
排序后结果为:
T12 = $
T11 = i
T8 = ippi
T5 = issippi
T2 = ississippi
T1 = mississippi
T10 = pi
T9 = ppi
T7 = sippi
T4 = sissippi
T6 = ssippi
T3 = ssissippi
得到:SA=[12 11 8 5 2 1 10 9 7 4 6 3]
(3)名次数组
名次数组 Rank=SA-1，也就是说若 SA[i]=j，则 Rank[j]=i，不难看出 Rank[i]保存的是 Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次”.
得到:Rank=[6 5 12 10 4 11 9 3 8 7 2 1]

2,如何构造后缀数组？
等价于得到SA和Rank.改进的核心正在于此.
(1)最直接最简单的方法当然是把 S 的后缀都看作一些普通的字符串，按照一般字符串排序的方法对它们从小到大进行排序。
分析:这种做法是很笨拙的，因为它没有利用到各个后缀之间的有机联系，所以它的效率不可能很高。即使采用字符串排序中比较高效的 Multi-keyQuick Sort，最坏情况的时间复杂度仍然是O(n2)的.
(2)倍增算法(Doubling Algorithm)
充分利用了各个后缀之间的联系，将构造后缀数组的最坏时间复杂度成功降至 O(nlogn).

单独讲解倍增算法
1,定义u的k-前缀: