动态规划1----背包问题

动态规划是一个非常难啃的问题，模型就非常的多，也没有什么很固定的模板。动态规划的模型有：背包问题 线性dp 区间dp 计数类dp 数位统计类dp 状态压缩类dp 树形dp 记忆化搜索。

其中背包问题的模型就非常之多，这篇文章记录下背包的几大类问题。

一：01背包

01背包的问题模型，问题如下：

以上这是01背包的问题，我们思考的方式采用y总的分析法。即从状态表示和状态计算上看。

以上的分析法是y总的分析套路，代码如下：

//二维
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int w[1005];//存放每一个价值
int v[1005];//存放每一个物品的体积
int f[1005][1005];//存放每个状态值

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=0;j<=m;j++)
     {
         f[i][j]=f[i-1][j];//不含i的时候
         if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//必须前面装过的还可以至少有v[i]的地方可以装，所以要判断，否则也会出现负数的情况。
     }
     
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}



//优化成一维，优化成一维不好理解，不如二维简单明了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int w[1005];
int v[1005];
int f[1005];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=m;j>=v[i];j--)
     {
         f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
     }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

二：完全背包问题

完全背包问题指的是每一件物品都可以无限选择，只要体积不超过背包的总体积。

场景题目：

 同样的，我们采用了y总的分析方法。从状态表示和状态计算两个方面去分析这道题目。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int v[1005];
int w[1005];
int f[1005][1005];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=0;j<=m;j++)
        for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
        {
          f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);//表达式
        }
   cout<<f[n][m];
   return 0;
    
}



//优化代码，减少一层循环
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int v[1005];
int w[1005];
int f[1005][1005];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
          f[i][j]=f[i-1][j];
          if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
      }
   cout<<f[n][m];
   return 0;
    
}


//完全背包的终极写法，用一维来解决问题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int v[1005];
int w[1005];
int f[1005];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=v[i];j<=m;j++)
      {
          f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
      }
   cout<<f[m];
   return 0;
    
}

 三：多重背包问题

多重背包问题是指限制第i个物品的个数而不能无限制的取，我们在分析的时候依然用yxc的dp分析法。

因此，其实这个多重背包问题的朴素版写法和完全背包是差不多的，只是我们限制取的件数

代码：

//多重背包的朴素版写法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int w[105];
int v[105];
int s[105];
int f[105][105];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=0;j<=m;j++)
        for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++)//给定双重限制，这个代码只比完全背包多一点代码
        {
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
        }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

四.多重背包的优化

因为在优化之前，多重背包的时间复杂n*m*s三重循环，当数据太大时就要优化，这个优化我暂时看不太懂，但是时间复杂度是n*m*logs，我先把题目和代码贴出来，后期再遇到题目的时候在回过来看。

 代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
int v[25000];
int w[25000];
int f[25000];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        if(s>0)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    n=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=m;j>=v[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
    return 0;
}

五：分组背包问题

先看分组背包问题的情形。

 很明显从题目上看，这是以组为单位进行计算的，其实可以考虑成以组为单位的01背包问题，我们用最常用的思路建立模型。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
int v[105][105];
int w[105][105];
int s[105];
int f[105][105];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++)
           cin>>v[i][j]>>w[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=0;j<=m;j++)
      {
          f[i][j]=f[i-1][j];//不选第i个的时候
          for(int k=0;k<=s[i];k++)//选第i个时候要选那一个要更新出来
           if(v[i][k]<=j)  f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
      }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

 背包问题暂时结束！！！！