Lineare Algebra II Ubungsblatt 11

Java Python Lineare Algebra II

Ubungsblatt 11

SS 2024

Aufgabe 1. Sei n ∈ N>0. Gegeben sei die Matrix

a) Zeigen Sie, dass A orthogonal ist. Offensichtlich ist A auch symmetrisch. Was verr¨at Ihnen das ¨uber die Eigenwerte von A? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

b) Berechnen Sie die Spur von A. Was verr¨at Ihnen das ¨uber die Dimension der Eigenr¨aume von A? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

c) Finden Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert 1, und beschreiben Sie die lineare Abbildung A geometrisch.

[Hinweis: Eigenwerte und Eigenvektoren k¨onnen hier ohne viel Rechenaufwand bestimmt werden.]

Aufgabe 2. Es sei V = R n versehen mit dem Standardskalarprodukt 〈·, ·〉.

a) Sei f : V → R eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass es einen eindeutig bestimmten Vektor w ∈ V gibt mit der Eigenschaft

〈w, v〉 = f(v)

f¨ur alle v ∈ V .

[Hinweis: Sie k¨onnen den Ansatz w = P ni=1 λibi machen, mit λ1, . . . , λn ∈ R und b1, . . . , bn eine Orthonormalbasis von V .]

F¨ur v1, . . . , vn−1 ∈ V sei q(v1, . . . , vn−1) ∈ V derjenige Vektor mit

〈q(v1, . . . , vn−1), v〉 = det(v, v1, . . . , vn−1)

f¨ur alle v ∈ V .

b) Zeigen Sie, dass q eine wohldefinierte Abbildung V n−1 → V ist. Fortan schreiben wir

v1 × · · · × vn−1 := q(v1, . . . , vn−1).

c) Zeigen Sie, dass v1 × · · · × vn−1 orthogonal zu v1, . . . , vn−1 ist.

d) Zeigen Sie: Sind v1, . . . , vn−1 lin Lineare Algebra II Ubungsblatt 11 ear unabh¨angig, so ist {v1 × · · · × vn−1, v1, . . . , vn−1} eine Basis von V .

Bemerkung: Man nennt v1 × · · · × vn−1 das verallgemeinerte Kreuzprodukt von v1, . . . , vn−1. F¨ur n = 3 ergibt sich das gew¨ohnliche Kreuzprodukt V × V → V , bekannt aus Schule, Physik, usw.

Aufgabe 3. a) Sei V = R n mit dem Standardskalarprodukt 〈·, ·〉. Sei v, w ∈ V mit v = w und ∥v∥ = ∥w∥. Zeigen Sie, dass es eine Spiegelung Sb gibt (b ∈ R n\{0}) sodass Sb(v) = w.

[Hinweis: Es lohnt sich 2〈v − w, v〉 = ∥v − w∥ 2 zu zeigen.]

b) Zeigen Sie, dass jede Matrix A ∈ O(n), A ≠ En ein Produkt aus h¨ochstens n Spiegelungen ist.

[Hinweis: Sei A = (a1, . . . , an) ≠ En in Spaltenschreibweise. Zeigen Sie, dass es ein Sb gibt mit Sb(ai) = e1 f¨ur ein i. Bestimmen Sie SbA und schließen Sie per Induktion.]

Aufgabe 4. Sei (V,〈·, ·〉) ein endlich dimensionaler Euklidischer oder unit¨arer Vektorraum, und f ∈ EndK(V ) (wobei K = R im Euklidischen und K = C im unit¨aren Fall). Es gibt dann eine lineare Abbildung f ∗ ∈ EndK(V ) die eindeutig durch die Eigenschaft

〈f ∗ (v), w〉 = 〈v, f(w)〉 f¨ur alle v, w ∈ V                          (1)

bestimmt ist. Die Existenz und Eindeutigkeit von f* wird in der Vorlesung gezeigt. Zeigen Sie, nur unter der Verwendung von (1), dass f¨ur alle f, g ∈ EndK(V ) und λ ∈ K gilt:

a) (f + g)* = f* + g*

b) (λf)* = ¯λf*

c) (f ◦ g)* = g* ◦ f*

d) (f*)* = f