数学小故事之 数列极限|当“夹逼定理”爱上“定积分定义”

                                                                        真真假假，假假真真

                                                                        历史为骨，艺术为翼

上周，我们讲了求解数列极限的一个比较有难度的方法——夹逼定理，并讲了数列放缩的一个基本的技能“找到变化元素，把变化元素全部变成最大（小）元素，实现放大和缩小。”不知道你有没有发现，昨天的每个题目的通项中，变化元素实际上非常少，一般就是一个变化元素，而且还特别有规律，因此对于一个变化元素来说，直接使用放缩的基本原则一般就能搞定，但是，出题老头会就这样善罢甘休吗？当然不会。“变化元素只有一个？太简单了！上难度，我让它变化元素多一些，而且不光是分母变，分子也跟着变，看你怎么办，想考150，白日做梦!”

来看看昨天出的思考题第四题，其实我把这个题放在昨天，就是想让你思考这样的几个问题：放缩的基本技能它的局限性是什么？什么情况下这种放缩法将会失效？如果失效我们该怎么办？（一句非常中二的话形容：冒险越来越深入了~）

好了，题目来了，咱们先按照昨天讲过的方法，分析一下本题的变化元素和不变元素：

分子：sin三角函数，好像是个变化元素，特点是π前面的系数由1变化到n；分母n不变，但是n后面那一项发生了变化，它其实上是一个1/i的结构，小分子是1不变，小分母由1变化到n

分母的处理方法，我昨天已经讲过了，我们的目标就是通过放缩把分母变成一样的，这样的话，我们就可以对分式进行合并，那，咱们先操作一下呗~

这里有一个小技巧，因为本题分母的变化元素是一个分数，所以那句废话又来了：“分母越大，分数越小；分母越小，分数越大”，所以从1/1到1/n，最大的肯定是1/1，而最小的是1/n，根据基本原则：

下面我们要思考了，不等式右面是不是还是很麻烦？其实做数学做多了我们就会有一个大致感观：分数不如整数好处理，反三角函数，对数函数不如三角函数，幂函数好处理等等。尤其是这道题，本来就是分式，又套了一个分数，好麻烦啊，因此我进一步放大，反正只要分母变小就行了，那我把1/n整个去掉行不行?是不是这就相当于缩小分母了？（做放缩的思考过程就是这样，先有一个基本的套路，然后根据不同的题目再做微调，达到想要的结果），因此式子就变成了这样：

看着舒服多了吧，好了，夹逼定理！诶，等等，这个式子怎么没合并成一项啊，明明分母都一样了呀！

这题的特殊性就在于，即使你处理了分母，分子照样合不了并，因为三角函数这个函数比较排外，同类项必须完全一样才能合并，有一点不一样也不行，而分子同样是个变化元素，所以，额，不会做了，呜呜呜~~~

好，现在想想我们还有什么方法？诶，“提1/n”这招我还没用过，那我试试，看行不行？

先看放缩的右项，疑，天然就有1/n啊，有戏有戏！

再看剩下的部分能不能凑出i/n整体形式？好像也是现成的啊，赶紧试试！

得嘞，1/n，i/n全凑出来了，那接下来，定积分定义翻译表，一起背：“1/n和求和号翻译成积分上下限0~1，i/n翻译成x，最后添加dx”，那么立即推！

一边出来了，那么另一边呢？就复杂了，这里面没有n啊，只有n+1，怎么办？“没有条件，创造条件也要上！”不是没有n吗？强行让他有！

友情提示：插值法其实是一个做数学题时候的一个最底层技能，往往在没有条件需要创造条件时候使用，具体来说有“加一项减一项”“乘一项除一项”等。

剩下的不用说了吧，凑出来的部分极限是2/π，剩下的部分用抓大头法，很容易求出极限是1，因此，这道题目最后的答案就是2/π。

当夹逼定理遇上定积分定义时，二者会擦出什么样的火花呢？讲到这里以后，想必你已经知道了吧，那就是：夹逼定理主攻分母，定积分定义处理分子，二者相得益彰。

今天思考题的题目是：