134. Gas Station

最新推荐文章于 2022-01-25 22:34:26 发布

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本文深入探讨了如何通过反证法和性质分析，解决汽油与成本最小化循环路线的问题。详细解释了算法逻辑，包括从数组元素的累加和判断能否完成循环，最终确定起始点的策略。

There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:
The solution is guaranteed to be unique.

思路：

这题要想清楚不容易，尽管想清楚后代码写起来很简单。

I. 显然当gas[i]<cost[i]时，i不能作为起点。

II. 当对所有加油站求和：sum(gas[i] - cost[i]) <0时，无法环绕一圈。反之，则一定能环绕一圈。

问题是如果可以环绕一圈，如何找起点？

性质1. 对于任意一个加油站i，假如从i出发可以环绕一圈，则i一定可以到达任何一个加油站。显而易见。

性质2. 如果这样的i是唯一的，则必然不存在j!=i，从j出发可以到达i。

反证法：如果存在这样的j，则必然存在j->i->i的路径，而这个路径会覆盖j->j一周的路径。那么j也将是一个符合条件的起点。与唯一解的限制条件矛盾。

性质3. 假如i是最后的解，则由1可知，从0 ~ i-1出发无法达到i。而从i出发可以到达i+1 ~ n-1。

结合以上三条性质，得出解决的思路：

0. 如果对所有加油站的sum(gas[i] - cost[i])<0，则无解。否则进入1。

1. 从0开始计算sum(gas[i] - cost[i])，当遇到i1使sum<0时，说明从0出发无法到达i1+1。根据性质1，0不是起始点。而由于从0出发已经到达了1 ~ i1。根据性质2，1 ~ i1一定不是正确的起始点。此时i1+1为起始点的候选。

2. 将sum清0，并从i1+1出发，假如又遇到i2使sum(gas[i] - cost[i]) < 0 时，说明i1+1出发无法绕一圈，根据性质1，排除i1+1。又因为i1+2 ~ i2都能从i1+1出发到达,。根据性质2，它们也必然不是起始点。此时i2+1为起始点的候选。

3. 以此类推，直到遇到ik+1，使从ik+1出发可以到达ik+2 ~ n-1。

其中步骤0可以合并到1~3的扫描中，一个pass来得到解。

class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) {
        int start = 0, netGasSum = 0, curGasSum = 0;
        for(int i=0; i<cost.size(); i++) {
            netGasSum += gas[i] - cost[i];
            curGasSum += gas[i] - cost[i];
            if(curGasSum<0) {
                start = i+1;
                curGasSum = 0;
            }
        } 
        if(netGasSum < 0) return -1;
        return start;
    }
};

Lexi的解释是这样的：

这个题要用反证法来理解。算法：

从i开始，j是当前station的指针，sum += gas[j] – cost[j] （从j站加了油，再算上从i开始走到j剩的油，走到j+1站还能剩下多少油）
如果sum < 0，说明从i开始是不行的。那能不能从i+1到j的某个位置开始呢？假设能从k (i <k<=j)走，那么i..j < 0，若k..j >=0，说明i..k – 1更是<0，那从k-1处就早该断开了，根本轮不到j。
所以一旦sum<0，i就赋成j + 1，sum归零。
最后total表示能不能走一圈。
这个题算法简单，写起来真是够呛。对数组一快一慢双指针的理解还是不行。注意千万不能出现while (i < 0) { i++, A[i]}这种先++然后取值的情况，必须越界。

public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
    int i = 0, j = 0;
    int sum = 0;
    int total = 0;
    while (j < gas.length) {
        int diff = gas[j] - cost[j];
        if (sum + diff < 0) {
            i = j + 1;
            sum = 0;
        } else {
            sum += diff;
        }
        j++;
        total += diff;
    }
    return total >= 0 ? i : -1;
}