Channel论文阅读笔记7-3之multipath interference by Jakes

Level Crossing Rates

水平交叉率 $N(R)$ 指信号包络以正方向穿过水平线 $R$ 的速率，定义为：
$$N(R)={\int }_0^{\infty }\dot{r}p(R,\dot{r})d\dot{r},\text{\hspace{1em}(1.3-32)}$$
由概率密度函数 $$p(r,\dot{r},\theta ,\dot{\theta })=\frac{r^2}{4{\pi }^2{b}_0{b}_2}\exp \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{r^2}{b_0}+\frac{{\dot{r}}^2}{b_2}+\frac{r^2{\dot{\theta }}^2}{b_2}\right)\right]\text{\hspace{1em}(1.3-33)}$$ 得到
$$p(r,\dot{r})={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_{-\infty }^{\infty }p(r,\dot{r},\theta ,\dot{\theta })d\dot{\theta }=\frac{r}{b_0}{e}^{-r^2/2b_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi b_2}}{e}^{-{\dot{r}}^2/2b_2}\text{\hspace{1em}(1.3-34)}$$
证明（1.3-33）：
设 $\mathrm{x}=(x,\dot{x},y,\dot{y}{)}^T$, $$\mathrm{x}{\mathrm{x}}^T=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_x^2& 0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_{\dot{x}}^2& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma }_x^2& 0\\ 0& 0& 0& {\sigma }_{\dot{x}}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{b}_0& 0& 0& 0\\ 0& b_2& 0& 0\\ 0& 0& b_0& 0\\ 0& 0& 0& b_2\end{array}\right)$$
由
$$p(x,\dot{x},y,\dot{y})=\frac{1}{4{\pi }^2{b}_0{b}_2}\exp (\frac{x^2+y^2}{b_0}+\frac{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}{b_2}),$$ $$dxd\dot{x}dyd\dot{y}=r^{2}drd\dot{r}d\theta d\dot{\theta }$$ 得到 （1.3-33）。证毕。

水平交叉率 $$N(R)=\frac{p(R)}{\sqrt{2\pi b_2}}{\int }_0^{\infty }\dot{r}{e}^{-{\dot{r}}^2/2b_2}d\dot{r}=\sqrt{\frac{b_2}{\pi b_0}}\rho e^{-{\rho }^2}\text{\hspace{1em}(1.3-35)}$$ 这里 $\rho =R/\sqrt{2b_0}$ 。 对于电场分量 $E_z$， $b_2/b_0={\omega }_m^2/2$。

Duration of Fades

平均衰落区间指信号包络在 $R$ 以下的平均时间。设第 $i$ 的衰落时间为 ${\tau }_i$，那么在时间 $T$ 衰落的概率为 $$p(r<R)=\frac{1}{T}\sum {\tau }_i\text{\hspace{1em}(1.3-40)}$$ 平均衰落时间 $$\bar{\tau }=\frac{1}{TN(R)}\sum {\tau }_i=\frac{1}{N(R)}p(r<R)\text{\hspace{1em}(1.3-41)}$$

Ref.

1. Microwave Mobile Communicatiaons, Ch1.
2. W. B. Davenport, Jr., and W. L. Root, An Introduction to the Theory of Randum Signals and Noise, McGraw-Hill, New York, 1958.