[数据结构][usaco3.1.3]Humble Numbers

Humble Numbers丑数

译 by tim green

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[编辑]描述

对于一给定的素数集合 S = {p₁, p₂, ..., p_K},考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p₁、p₁*p₂、p₁*p₁、p₁*p₂*p₃...(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。

注意：我们认为1不是一个丑数。

你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。所有答案可以用longint(32位整数)存储。

补充：丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。

[编辑]格式

PROGRAM NAME: humble

INPUT FORMAT:

(file humble.in)

第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N ， 1<= K<=100 ， 1<= N<=100,000.

第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素

OUTPUT FORMAT:

(file humble.out)

单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。

[编辑]SAMPLE INPUT

 4 19
 2 3 5 7

[编辑]SAMPLE OUTPUT

27

循环队列的使用：

概念上是k个队列，因为因数重复的原因，改为1个队列以节省空间。

相当于每次从k个队列队首取出元素比较，找出最小值，然后将这个（或这些）队列向后扩展。

扩展的规律是：原来队首数可以表示为p*a，新的队首是p*b，则b是比a大而且最小的一个只包含这k个质因数的数。

实现方式是用这个循环队列存储下每次找出的最小值，因此该循环队列保证了单调，下一个因数b一定符合以上要求。则每一个质数用一个指向该队列的指针即可知道下一个因数b的位置。

分析：

一、

因为保证答案在整数范围内，因此理论上需要2^31的空间，即使连续存储不散列存储依然显然不够。

但是分析该例：

2147483648/11 ≈ 195225786

2147483648/13 ≈ 165191049

2147483648/17 ≈ 126322567

2147483648/19 ≈ 113025455

2147483648/23 ≈ 93368854

…………

这些就是不会存入队列中的个数，对于节省空间来说很可观。

二、

然后所有质数的指针位置的极差也会小于一定值，所以可以利用循环队列。

/*
ID: wuyihao1
LANG: C++
TASK: humble
*/
#include <cstdio>

const int inf = 0x7ffffff7;
int p[110];
int top[110];

const int maxq = 2000000;

int que[maxq + 10];
long l = 0;

int main()
{
	freopen("humble.in","r",stdin);
	freopen("humble.out","w",stdout);
	int k;
	int n;
	scanf("%d%d",&k,&n);
	for (int i=1;i<k+1;i++)
	{
		scanf("%d",p+i);
	}

	que[0] = 1;
	int ans = 0;
	for (int i=1;i<n+1;i++)
	{
		int min = inf;
		for (int j=1;j<k+1;j++)
			if ((p[j]*que[top[j]]>0) && (p[j]*que[top[j]]) < min)
				min = (p[j]*que[top[j]]);
		ans = min;
		++ l;
		if (l == maxq)
			l = 0;
		que[l] = min;
		for (int j=1;j<k+1;j++)
			if (que[top[j]]*p[j] == min)
			{
				top[j] ++;
				if (top[j] == maxq)
					top[j] = 0;
			}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}