差分法求数列后几项

最新推荐文章于 2025-01-10 19:29:02 发布

wszdzh

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分类专栏： Algorithm C/C++

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这篇博客探讨了如何使用差分法来解决数列的后续项预测问题。作者指出，相比于拉格朗日插值法可能面临的精度挑战，差分法提供了一个避免浮点数操作的有效途径。通过举例说明，如1 2 4 7 11 16 22 29数列，进行一阶和二阶差分，可以发现数列的规律并推导出通项公式。这种方法对于存在多项式通项的数列尤为适用。

差分法。曾经在自己的脑子里模拟过，但是不知道细节，没有系统学习过，就是这么悲剧了。

每次都是说很久没有写算法题了。又水一道。

见转载的一个解法：http://rchardx.is-programmer.com/posts/16142.html

题目给出了一个数列的前若干项，要求推测后面的项。我们很容易想到拉格朗日插值法，但是精度就变成了一个大问题。这个问题虽然保证了所有的值都是整数，但是并没有保证其多项式的系数也是整数，因此在计算方面存在很大的困难。

除了插值法，求解这种数列问题我们有更好的差分方法，过程中完全不涉及浮点数操作。比如说，对于1 2 4 7 11 16 22 29这个数列，我们对于每一项做其和前一项的差，也就是2-1=1, 4-2=2, 7-4=3, ....这样，我们得到一个1阶差分：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。我们再求得2阶差分是：1, 1, 1, 1, 1, 1。这时，规律已经有些明显了。

也就是说，对于任意一个存在合理多项式通项的数列，用差分的方法是可以得到它的解的：只要求得这个n项数列的n-1阶差分，然后倒推回去就可以了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
 
using namespace std;
 
const int MAXN = 100+5;
 
int n,m,s[MAXN][MAXN];
 
int main() {
  int ncase;
  scanf("%d",&ncase);
  while (ncase--) {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 0; i<n; i++)
      scanf("%d",&s[0][i]);
    for (int i = 1; i<n; i++)
      for (int j = 0; i+j<n; j++)
        s[i][j] = s[i-1][j+1]-s[i-1][j];
    for (int i = 1; i<=m; i++)
      s[n-1][i] = s[n-1][0];
    for (int i = n-2; i>=0; i--)
      for (int j = 0; j<m; j++)
        s[i][n-i+j] = s[i][n-i+j-1]+s[i+1][n-i+j-1];
    for (int i = 0; i<m-1; i++)
      printf("%d ",s[0][n+i]);
    printf("%d\n",s[0][n+m-1]);
  }
  return 0;
}