堆的应用（堆排序&TopK问题）

1. 堆排序

堆排序可以帮助选数，本质是选择排序。

1）建堆的思考（时间复杂度计算）

利用向下调整算法和向上调整算法完成建堆，第一个数作为一个堆，后面的数依次进行插入，本质是模拟堆插入的过程

升序：建大堆；降序：建小堆

为什么是这样子的呢？拿升序建大堆为例进行讲解：

假设给出一个数组，要使用堆排序实现升序，如果这时建小堆，那么数组第一个数是最小的，那后面的数就需要重新建堆，而一次建堆的时间复杂度本身就是 O(NlogN) ，还需要重复 n 次这样的操作，即使看上去高大上，但实际效率十分低。

而采用大堆进行升序时，能够确定最大的数，这样就可以对数组首尾交换，从而实现固定最大的数字。这样原本的堆再利用堆删除的思想，就可以保证堆的关系不会乱，时间复杂度此时变成了：建堆 O(NlogN) ，选数 O(N-1)logN ，总的时间复杂度就是相加，就变成了 O(NlogN) ，这个算法的量级也就下降了（时间复杂度是判定算法的量级，即使相同时间复杂度的算法，他们的量级也会有区别）

那还有更高效的建堆方法吗？答案就是直接利用向下调整算法！

从倒数第一个非叶子，即最后一个节点的父亲开始调整，这样可以减少一般的时间复杂度，而且调整的方式也会改变，从而使其更快

建堆的两个时间复杂度将在最后进行分析。

2）利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序，下面将根据上述的思路进行升序

3）实现堆排序（升序-大堆）

依托上面堆实现的代码，但要修改向上调整算法和向下调整算法的判定条件为大堆。

#include "Heap.h"

void HeapSort(int* a, int n)
{
   
   
	// 建大堆
	//// 把a[0]当作一个大堆，其他数据插入
	//// O(NlogN)
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
   
   
	//	// 修改判定条件为大堆，调整符号
	//	AdjustUp(a, i);
	//}
	
	// 只利用向下调整算法，效果更高，时间复杂度是 O(N)
	// 从倒数第一个非叶子，即最后一个节点的父亲
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
   
   
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	// 升序使用向下调整算法，用堆删除的思路调整堆
	// O(NlogN)
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
   
   
		// 先排序大的数据，大的往后面先排好序
		Swap(&a[0], &a[end])