最大子序列和的线性算法及其它算法

问题描述：
         给定整数A1， A2，……AN （可能有负数），求I到j的最大值。
例如：
         -2, 11, -4, 13, -5, -2时答案为20
　　对于这个问题的算法有很多，当然我要说的是使用“动态规划”算法实现的程序，对于这个算法，我可以说很多人都曾经想到，但是没有想全（因为我就是这样的）。还有一点对于这个问题的动态规划的解法是非常经典的，她的时间复杂度是O(n),也就是线性的。而对于穷举法它的时间复杂度可是O(n3), 这样看来可以巨大的改进了。
　　考虑这样的一个问题，我们从最简单的左边开始看，就如上面的例子，-2对于结果有影响吗？回答是没有。那么让我们看下面这样一个例子：
         6, -7, ……
         此时，我们还需要考虑6 和 –7 吗，有些人说要的，因为可能对于6，后面没有比其更大的了，是啊。问题是这样的。那么对于后面的结果分析其有影响吗？这个时候我们可以说没有影响的！
         到现在，上面是不是大家多曾经想到了呢？呵呵，我曾经就想到了，那我们为什么不把这问题，推倒后面呢？动态规划法就是解决这样的一个问题，我们知道此时前面的两个数就是一种最优的子结构（尽管只有2个数，不过是完全可以推广的。）
         书中的算法就告诉我们是如何推广的，我写这样的一篇文章的具体目的也就是为了说明以上的问题，因为我和大家一样都曾经想到了前面的算法，却没有考虑下去。以此感慨！并遗憾！
         那么书中的算法是这样的：（看这个算法之前应该先知道这个问题的“分治法”的求解，这样更让你觉得，这个算法的完美之处。）
 

   Int MaxSubsequenceSum( const   int  A[],  int  N)
... {
         int ThisSum, MaxSum, j;
         ThisSum = MaxSum = 0;
         For(j=0; j < N; j++)
...{
                ThisSum += A[j];
                If (ThisSum > MaxSum)
                       MaxSum = ThisSum;
                Else if(ThisSum < 0)
                       ThisSum = 0;
}
return MaxSum;
}  

 

　　对于这个算法的分析(逻辑):

　　从左相右相加，若结果不断的增加，那么ThisSum将同MaxSum一起增加，如果遇到负数，那么也加到ThisSum上去，但是此时ThisSum < MaxSum，那么就不加。看ThisSum是不是会回升，若一直不回升，不断或是波浪型的下降，那么当它降到0时，说明前一段与后一段是可以抛弃的。正如有 7 ， -8 一样，我们可以不要这两个数，但是我们知道MaxSum依然保存着前一段的最大值，（这就是这个算法中的厉害，我认为）。然后，ThisSum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前MaxSum大的子段，然后替换（此时可以彻底抛弃前一段）。这样一趟扫描结果也就出来了。
后记：
         对于这个问题，一开始对于分治算法，我们可能很容易想对，而对与动态规划可能我们很难想到（至少我没有那么轻易就想到了）。尽管如此，还是比较庆幸想到了其最优子结构，问题解决到此，当然对于这个问题，我们还是可以用“分治”算法，其时间复杂度为:O(nlogn)，也是比较优的，当然没有上面提到的优。   

摘自：http://hi.baidu.com/longchengjiang/blog/item/7a5f2ad894a6d33733fa1c94%2Ehtml

 

补充：如果输入的所有整数为负，最大值为0.，原因是当子序列为空时，包含0个整数，也是子序列，它的和即为0，因为空子序列是连续的，所以总有一个连续子序列，它的和为0。（考虑空子序列的问题：空子序列也是子序列，它的和为0）

PS：MaxSum在这个算法中是一个中间变量，用来记录子问题的最值，而ThisSum是计算子问题的具体方法。

在网上搜到这篇，感觉讲得很通俗，易于理解。

下面附上此类问题的四种算法：

 

#include  < iostream.h >
#include  < stdio.h >
int  MaxSubSum1(  const   int  A[],  int  N);
int  MaxSubSum2(  const   int  A[],  int  N);
int  MaxSubSum3(  const   int  A[],  int  N);
int  MaxSubSum4(  const   int  A[],  int  N);

const   int  M  =   10 ;

int  main()
... {
 int B[M];

    cout<< "请输入 " << M << " 个整数：  "<< endl;
 
 for ( int i=0; i < M; i++ )
 ...{
  cin>> B[i];
 }

 cout<< " 您输入的 " << M << " 个数为：  "<< endl;

 for ( i = 0; i < M; i++ )
 ...{
  cout<< B[i] <<", ";
 }

 cout<< " --------------------------------------- " << endl;
 cout<< "四个函数的运算结果分别为:" << endl;
 cout<< "-------------------------" << endl;

    cout<< MaxSubSum1( B, M ) << endl;
    cout<< MaxSubSum2( B, M ) << endl;
    cout<< MaxSubSum3( B, M ) << endl;
    cout<< MaxSubSum4( B, M ) << endl;

 return 0;
}

int  MaxSubSum1(  const   int  A[],  int  N)   /**/ /*  第一种方法: 穷举 */
... {
 int ThisSum, MaxSum;
 MaxSum = 0;

 for (int i=0; i < N; i++ )
 ...{
  for ( int j=i; j < N; j++ )
  ...{
   ThisSum = 0;

   for ( int k=i; k <= j; k++ )
   ...{
    ThisSum += A[k];
   }

   if ( ThisSum > MaxSum )
   ...{
    MaxSum = ThisSum;
   }
  }
 }

 return (MaxSum); 
}


int  MaxSubSum2(  const   int  A[],  int  N)   /**/ /*  第二种方法: 分治 */
... {
 int ThisSum, MaxSum;
 MaxSum = 0;

 for (int i=0; i < N; i++ )
 ...{
  ThisSum = 0;
  
  for ( int j=i; j < N; j++ )
  ...{
   ThisSum += A[j];
   
   if ( ThisSum > MaxSum )
   ...{
    MaxSum = ThisSum;
   }
  }
 }

 return (MaxSum); 
}

 

/**/ /*  -----------------------------------------------------------------第三种方法: 二分法 */
static   int  BiMaxSubSum(  const   int  A[],  int  Left,  int  Right );

int  MaxSubSum3 (  const   int  A[],  int  N ) 
... { 
 return BiMaxSubSum ( A, 0, N - 1 ); 
}

static   int  BiMaxSubSum(  const   int  A[],  int  Left,  int  Right )
... {
 int MaxSum, MaxLeftSum, MaxRightSum;
 int LeftBorderSum, RightBorderSum;
 int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;
    int Center;

 if ( Left == Right )
 ...{
  if ( A[Left] > 0 )
  ...{
   return A[Left];
  }
  else
  ...{
   return 0;
  }

 } 
  
 Center = ( Left + Right ) / 2;
 MaxLeftSum = BiMaxSubSum( A, Left, Center );
 MaxRightSum = BiMaxSubSum( A, Center + 1, Right );

 MaxLeftBorderSum = 0;
 LeftBorderSum = 0;
 for ( int i = Center; i >= Left; i-- )
 ...{
  LeftBorderSum += A[i];
  if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
  ...{
   MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
  }
 }

 MaxRightBorderSum = 0;
 RightBorderSum = 0;
 for ( i = Center + 1; i <= Right; i++ )
 ...{
  RightBorderSum += A[i];
  if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
  ...{
   MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
  }
 }

 MaxSum = ( (MaxRightSum > MaxLeftSum ) ? MaxRightSum : MaxLeftSum );
 int tmp = MaxRightBorderSum + MaxLeftBorderSum;
 return ( ( MaxSum > tmp ) ? MaxSum : tmp );
}

 

 

int  MaxSubSum4(  const   int  A[],  int  N)   /**/ /*  第四种方法:  */
... {
 int ThisSum, MaxSum;
 ThisSum = MaxSum = 0;

 for (int i=0; i < N; i++ )
 ...{
  ThisSum += A[i];

  if ( ThisSum > MaxSum )
  ...{
   MaxSum = ThisSum;
  }
  
  else if ( ThisSum < 0 )
  ...{
   ThisSum = 0;
  }
 }

 return (MaxSum); 
}